Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng bước một.

Đầu tiên, ta bắt đầu với biểu thức \( P \):

\[
P = \left( \frac{\sqrt{a}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{a}} \right) \left( a - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1} - a + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1} \right)
\]

1. **Rút gọn từng phần của biểu thức**.

Phần đầu tiên:
\[
P_1 = \frac{\sqrt{a}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}^2 - 1}{2\sqrt{a}} = \frac{a - 1}{2\sqrt{a}}
\]

Phần thứ hai:
Ta rút gọn biểu thức rắc rối bên trong dấu ngoặc.
\[
P_2 = a - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1} - a + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}
\]
Ta có thể viết lại như sau:
\[
P_2 = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}
\]
Tìm chung mẫu:
\[
P_2 = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+1) - \sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1)} = \frac{2\sqrt{a}}{a - 1}
\]

2. **Kết hợp lại**:
\[
P = \frac{(a - 1)}{2\sqrt{a}} \cdot \frac{2\sqrt{a}}{a - 1} = 1 \text{ (điều kiện \( a \neq 1 \))}
\]

3. **Tìm a để \( P \geq -23 \)**:

Ở đây, \( P = 1 \), do đó điều kiện để thỏa mãn là \( 1 \geq -23 \) luôn đúng với \( a > 0 \) và \( a \neq 1 \).

4. **Tìm a để \( P \geq -2 \)**:
Tương tự \( P = 1 \), điều kiện là \( 1 \geq -2 \) cũng luôn đúng với \( a > 0 \) và \( a \neq 1 \).

Như vậy, ta có thể kết luận:
- \( P \geq -23 \) và \( P \geq -2 \) đều đúng với mọi \( a \) thoả mãn \( a > 0 \) và \( a \neq 1 \).