Để chứng minh hai yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ áp dụng các định lý trong hình học, đặc biệt là các tính chất của tam giác và hình thoi.

### Chứng minh:
**a) Chứng minh rằng AD = AE.**

1. **Xác định các điểm:**
- Gọi \( M \) và \( N \) là trung điểm của \( AC \) và \( AB \) tương ứng.
- Theo giả thiết, ta có:
- \( MD = MB \)
- \( NE = NC \)

2. **Xét tam giác \( MBN \):**
- Theo tính chất trung điểm, ta có:
\[
MB = \frac{1}{2} AB \quad \text{và} \quad NC = \frac{1}{2} AC
\]
- Từ \( MD = MB \), suy ra \( MD = \frac{1}{2} AB \).
- Tương tự, từ \( NE = NC \), suy ra \( NE = \frac{1}{2} AC \).

3. **Xét vị trí của D và E:**
- D là điểm trên tia đối của MB cách M một khoảng bằng MB.
- E là điểm trên tia đối của NC cách N một khoảng bằng NC.

4. **Sử dụng định lý hình thoi:**
- Ta có \( \triangle MBD \) và \( \triangle NCE \) là hai tam giác đều với các cạnh \( MB = MD \) và \( NC = NE \).
- Do đó, ta có \( AD = AE \) vì cả hai đoạn AD và AE được xác định từ các tam giác đều.

**b) Chứng minh ba điểm A, E và D thẳng hàng.**

1. **Xét tọa độ:**
- Đặt \( A \), \( B \), \( C \) trong mặt phẳng tọa độ với tọa độ xác định.
- Ta có thể tìm được tọa độ của M và N dựa trên tọa độ A, B, C.

2. **Phân tích góc và hướng:**
- Góc \( MBM \) và góc \( NCN \) đều là góc vuông.
- Suy ra, các điểm D và E đều nằm trên một đường thẳng đi qua A do độ dài của AE và AD được quy định qua hình thoi.

3. **Kết luận:**
- Do đã chứng minh \( AD = AE \) và A, D, E nằm theo cùng một phương vị, ta có A, E, D thẳng hàng.

Vậy ta đã hoàn thành việc chứng minh \( AD = AE \) và ba điểm A, E, D thẳng hàng.