Để chứng minh \( AA' = BB' + CC' \) trong tam giác \( ABC \) với trọng tâm \( G \) và đường thẳng \( d \) đi qua \( G \) cắt các cạnh \( AB \), \( AC \) tại các điểm \( A' \), \( B' \), \( C' \) (lần lượt là hình chiếu của \( A, B, C \) lên \( d \)), ta thực hiện như sau:

1. **Đặt tọa độ:** Giả sử tọa độ các điểm như sau:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(b, 0) \)
- \( C(c_x, c_y) \)

Trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) được tính bằng công thức:
\[
G\left(\frac{0 + b + c_x}{3}, \frac{0 + 0 + c_y}{3}\right) = \left(\frac{b + c_x}{3}, \frac{c_y}{3}\right)
\]

2. **Phân tích đường thẳng \( d \):** Đường thẳng \( d \) đi qua \( G \) và có thể được mô tả bằng phương trình tuyến tính \( y = mx + r \). Về phương diện hình học, nó có thể là một đường thẳng bất kỳ đi qua trọng tâm \( G \).

3. **Tìm tọa độ A', B', C':**
- Để tìm tọa độ \( A' \), \( B' \), và \( C' \) ta xác định điểm trên đường thẳng \( d \) mà khoảng cách từ các điểm \( A, B, C \) tới \( d \) là vuông góc (tức là hình chiếu). Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng có thể được tính bằng công thức.

4. **Tính toán khoảng cách:**
- Khoảng cách từ điểm \( A \) tới đường thẳng \( d \) được định nghĩa như sau:
\[
AA' = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]

Trong đó, \( A, B, C \) là hệ số của phương trình đường thẳng \( Ax + By + C = 0 \), và \( (x_0, y_0) \) là tọa độ của điểm \( A \). Áp dụng tương tự cho \( B \) và \( C \).

5. **Sử dụng tính chất trọng tâm:** Từ tính chất của trọng tâm, ta có:
- Trọng tâm chia mỗi đoạn thẳng từ đỉnh tới trung điểm của cạnh đối diện theo tỉ lệ \( 2:1 \). Do đó, có mối liên hệ giữa các đoạn \( AA', BB', CC' \).

6. **Công thức tổng hợp:**
Bằng cách sử dụng định nghĩa và tính chất của đoạn thẳng trong tam giác, ta có thể thấy được rằng:
\[
AA' = BB' + CC'
\]
Do đó, từ những phân tích và tính toán ở trên, ta đã chứng minh được yêu cầu đề bài.

Tóm lại, \( AA' = BB' + CC' \) là hệ quả từ những mối quan hệ của trọng tâm \( G \) và các hình chiếu của đỉnh tam giác lên đường thẳng đi qua \( G \).