Ta cần tính biểu thức sau:

\[
\sqrt{11 + 6\sqrt{2}} - \sqrt{11 - 6\sqrt{2}}
\]

Trước hết, ta sẽ xét từng phần một.

1. **Tính \(\sqrt{11 + 6\sqrt{2}}\)**:
Giả sử \(\sqrt{11 + 6\sqrt{2}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}\), với \(a + b = 11\) và \(2\sqrt{ab} = 6\sqrt{2}\).

Từ \(2\sqrt{ab} = 6\sqrt{2}\), ta có:
\[
\sqrt{ab} = 3\sqrt{2} \implies ab = 18
\]

Giải hệ phương trình:
\[
a + b = 11
\]
\[
ab = 18
\]

Đặt \(x^2 - 11x + 18 = 0\). Ta tính nghiệm:
\[
x = \frac{11 \pm \sqrt{(11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2} = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2} = \frac{11 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{11 \pm 7}{2}
\]

Khi đó:
\[
x_1 = 9 \quad \text{và} \quad x_2 = 2
\]

Vậy \(a = 9\) và \(b = 2\). Do đó:
\[
\sqrt{11 + 6\sqrt{2}} = \sqrt{9} + \sqrt{2} = 3 + \sqrt{2}
\]

2. **Tính \(\sqrt{11 - 6\sqrt{2}}\)**:
Giả sử \(\sqrt{11 - 6\sqrt{2}} = \sqrt{c} - \sqrt{d}\), với \(c + d = 11\) và \(2\sqrt{cd} = -6\sqrt{2}\) (vô lý cho số thực), nên \(\sqrt{11 - 6\sqrt{2}} = \sqrt{9} - \sqrt{2} = 3 - \sqrt{2}\).

3. **Giờ ta có biểu thức:**
\[
(3 + \sqrt{2}) - (3 - \sqrt{2}) = 3 + \sqrt{2} - 3 + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}
\]

Vậy kết quả cuối cùng là:

\[
\boxed{2\sqrt{2}}
\]