a) Vì E đối xứng với H qua D nên D là trung điểm của HE

Ta có:

Tứ giác AHC có hai đường chéo HE và AC cắt nhau tại trung điểm D của mỗi đường

⇒ AHCE là hình bình hành

Mà AH ⊥ HC

Nên AHCE là hình chữ nhật

b) Vì AHCE là hình chữ nhật

nên AE // HC hay AE // IH

Xét tứ giác AEHI có:

AE // HI 

AI // HE

Do đó AEHI là hình bình hành

c) Ta có: AE = HC (AHCE là hình chữ nhật)

mà  AE = HI (AEHI là hình bình hành)

⇒ HC = HI

Xét ΔIHA và ΔCHA có:

HI = HC (cmt)

\(\widehat {IHA} = \widehat {CHA}\) (= 90° vì AH là đường cao của Δ ABC)

HA là cạnh chung 

⇒ ΔIHA = ΔCHA(c.g.c)

⇒ \(\widehat {HAC} = \widehat {HAI}\) (hai góc tương ứng)

⇒ AK là tia phân giác của \(\widehat {IAC}\)

d) Xét tứ giác CAIK có:

HI = HC(cmt)

AH = HK (gt)

⇒ Hai đường chéo CI và AK cắt nhau tại trung điểm H của mỗi đường

⇒ CAIK là hình bình hành

Hình bình hành CAIK có đường chéo AK là đường phân giác của \(\widehat {IAC}\) (cmt tại câu c )

⇒ CAIK là hình thoi 

Hình thoi CAIK là hình vuông (có góc = 90°)

⇒ AK = IC

⇒ AH = HC

⇒ AH vừa là đường cao,đường trung tuyến của ΔABC

⇒ ΔABC là Δ vuông, cân tại A

Hình  chữ nhật AHCE có hai cạnh kề bằng nhau ( AH = HC) 

⇒ AHCE là hình vuông 

Vậy ΔABC là Δ vuông và cân tại A

⇒ Tứ giác CAIK là hình vuông 

⇒ Tứ giác AHCE là hình vuông.