a) Ta có: \({\widehat O_1} = {180^{\rm{o}}} - 2{\widehat A_1}\)

               \(\widehat {{{O'}_1}} = 2{\widehat A_2} = 2\left( {{{90}^{\rm{o}}} - {{\widehat A}_1}} \right) = {180^{\rm{o}}} - 2{\widehat A_1}\)

Do đó: \({\widehat O_1} = \widehat {{{O'}_1}} \Rightarrow OM\,{\rm{//}}\,O'N\)

b) Gọi \(P\) là giao điểm của \(MN\) và \(OO'\)

Ta có: \(\frac{{PO'}} = \frac{{O'N}} = \frac{{R'}}{R}\)

Gọi \(P'\) là giao điểm của \(BC\) và \(OO'\)

Vì \(OB\,{\rm{//}}\,O'C\) nên \(\frac{{P'O'}}{{P'O}} = \frac{{O'C}} = \frac{{R'}}{R}\).

Suy ra \(P'\) trùng với \(P\) (vì cùng ở ngoài đoạn thẳng \(OO'\) theo tỉ số \(\frac{{R'}}{R}\)).