Để tính biểu thức \((\frac{2}{3})^6 \times (\frac{8}{27})^2 \times (\frac{2}{3})^6 \times (\frac{8}{27})^2\), trước tiên, chúng ta có thể nhóm các phần tử lại với nhau.

Biểu thức có hai phần \((\frac{2}{3})^6\) và \((\frac{8}{27})^2\) lặp lại hai lần. Do đó, chúng ta có thể viết lại như sau:

\[
= \left((\frac{2}{3})^6\right)^2 \times \left((\frac{8}{27})^2\right)^2
\]

Bây giờ chúng ta tính từng phần:

1. Tính \(\left((\frac{2}{3})^6\right)^2\):
\[
(\frac{2}{3})^{6 \times 2} = (\frac{2}{3})^{12}
\]

2. Tính \(\left((\frac{8}{27})^2\right)^2\):
\[
(\frac{8}{27})^{2 \times 2} = (\frac{8}{27})^4
\]

Vậy toàn bộ biểu thức sẽ trở thành:
\[
(\frac{2}{3})^{12} \times (\frac{8}{27})^4
\]

Tiếp theo, chúng ta tính \((\frac{8}{27})^4\):
\[
(\frac{8}{27})^4 = \frac{8^4}{27^4} = \frac{4096}{531441}
\]

Và \((\frac{2}{3})^{12}\):
\[
(\frac{2}{3})^{12} = \frac{2^{12}}{3^{12}} = \frac{4096}{531441}
\]

Giờ chúng ta nhân hai kết quả lại với nhau:
\[
\frac{2^{12}}{3^{12}} \times \frac{8^4}{27^4} = \frac{4096}{531441} \times \frac{4096}{531441}
\]
\[
= \frac{4096 \times 4096}{531441 \times 531441}
\]

Ta có thể thực hiện các phép tính này, nhưng đơn giản hơn khi biết rằng \((2^3 = 8)\) và \((3^3 = 27)\), do đó:

Như vậy cuối cùng,
\[
= \frac{4096 \times 4096}{531441 \times 531441}
\]
Để đơn giản, bạn có thể tính bằng máy tính hoặc để nguyên.

Tóm lại, kết quả cuối cùng cho biểu thức là:
\[
= \frac{4096^2}{531441^2}
\]
hoặc
\[
= \frac{16777216}{283627264}
\]

Đây là đáp án cuối cùng của bài toán.