Giải hệ phương trình: x² + y² = 2y + 1 và xy = x + 1

Để giải hệ phương trình:

1. \( x^2 + y^2 = 2y + 1 \) (1)
2. \( xy = x + 1 \) (2)

Ta bắt đầu từ phương trình (2):

\[ xy - x - 1 = 0 \]

Chúng ta có thể biến đổi phương trình này để tìm y theo x:

\[ y = \frac{x + 1}{x} \] (với \( x \neq 0 \))

Bây giờ thay y vào phương trình (1):

\[ x^2 + \left(\frac{x + 1}{x}\right)^2 = 2\left(\frac{x + 1}{x}\right) + 1 \]

Giải nốt:

\[ x^2 + \frac{(x + 1)^2}{x^2} = 2\frac{x + 1}{x} + 1 \]

Tạo điều kiện chung cho các phần tử:

\[ x^4 + (x + 1)^2 = 2(x + 1)x + x^2 \]

Giải tiếp phương trình này sẽ dẫn ta đến tìm được các giá trị của x. Sau khi giải xong, ta có được giá trị của \( y \).

### Thực hiện giải chi tiết:
1. Tính \( (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1 \)
2. Thay vào:

\[ x^4 + x^2 + 2x + 1 = 2x^2 + 2x + x^2 \]

Sau đó, tổ hợp lại:

\[ x^4 + x^2 + 2x + 1 = 3x^2 + 2x \]

Giải phương trình:

\[ x^4 - 2x^2 + 1 = 0 \]

Biến đổi thành:

\[ (x^2 - 1)^2 = 0 \]

Suy ra:

\[ x^2 - 1 = 0 \]
=> \( x^2 = 1 \)
=> \( x = 1 \) hoặc \( x = -1 \)

### Tìm y tương ứng:
- Nếu \( x = 1 \):
\[ y = \frac{1 + 1}{1} = 2 \]

- Nếu \( x = -1 \):
\[ y = \frac{-1 + 1}{-1} = 0 \]

### Kết quả cuối:
- Giải của hệ phương trình là:
1. \( (1, 2) \)
2. \( (-1, 0) \)

### Kiểm tra:
1. Đối với điểm \( (1, 2) \):
- Thoả mãn \( 1^2 + 2^2 = 2 \cdot 2 + 1 \) → \( 1 + 4 = 4 + 1 \) (Đúng)
- Thoả mãn \( 1 \cdot 2 = 1 + 1 \) → \( 2 = 2 \) (Đúng)

2. Đối với điểm \( (-1, 0) \):
- Thoả mãn \( (-1)^2 + 0^2 = 2 \cdot 0 + 1 \) → \( 1 + 0 = 0 + 1 \) (Đúng)
- Thoả mãn \( -1 \cdot 0 = -1 + 1 \) → \( 0 = 0 \) (Đúng)

### Kết luận:
Hệ phương trình có hai nghiệm:
- \( (1, 2) \)
- \( (-1, 0) \)