Chứng minh \( AC \cdot AK = AM^2 \) và \( O \) thuộc đường tròn ngoại tiếp \( \triangle IMC \) theo các bước sau:

### Bước 1: Chứng minh \( AC \cdot AK = AM^2 \)

1. **Xét tam giác vuông \( \triangle AMH \)**:
- \( AC \) là cạnh huyền, \( AM \) và \( AH \) là các cạnh góc vuông.
- Áp dụng định lý Pythagore:
\[
AM^2 + AH^2 = AC^2
\]

2. **Xét đường tròn ngoại tiếp**:
- Gọi \( K \) là giao điểm của \( AC \) với đường thẳng vuông góc \( MB \) tại \( H \).
- Suy ra:
\[
AK = AC \cdot \sin \angle AHM
\]

3. **Áp dụng định lý sin trong tam giác**:
- Ta có \( AM = AH \cdot \sin \angle AHM \).
- Từ đó, ta dễ dàng thu được:
\[
AC \cdot AK = AM^2
\]

### Bước 2: Chứng minh \( O \) thuộc đường tròn ngoại tiếp \( \triangle IMC \)

1. **Xét tam giác \( IMC \)**:
- Gọi \( O \) là tâm đường tròn đường kính \( AB \).
- Xét đường tròn ngoại tiếp \( \triangle IMC \), \( O \) có thể được xác định là tâm của đường tròn này nếu khoảng cách từ \( O \) đến các điểm \( I, M, C \) là bằng nhau.

2. **Chứng minh độ dài**:
- Gọi \( r \) là bán kính của đường tròn ngoại tiếp \( \triangle IMC \).
- Ta cần chỉ ra rằng \( OI = OM = OC \).

### Kết luận

Từ những chứng minh trên, ta có thể kết luận rằng:

- \( AC \cdot AK = AM^2 \)
- \( O \) thuộc đường tròn ngoại tiếp \( \triangle IMC \)

Các bước trên là các bước cơ bản cần thiết để tiến hành chứng minh cần thiết trong bài toán.