Để xác định các véctơ trong bài toán này, ta sẽ sử dụng các quy tắc cơ bản về véctơ trong tam giác.

Cho tam giác \( ABC \), với \( M \) là trung điểm của \( AC \) và \( N \) là điểm trên \( AC \) sao cho \( AN \) là một đoạn thẳng.

1. **Phân tích véctơ**:
- Véctơ \( AB \) từ \( A \) đến \( B \).
- Véctơ \( BA \) từ \( B \) đến \( A \) sẽ là \( -AB \).
- Véctơ \( AC \) từ \( A \) đến \( C \).
- Véctơ \( MC \) từ \( M \) đến \( C \).
- Véctơ \( AN \) từ \( A \) đến \( N \).
- Véctơ \( BN \) từ \( B \) đến \( N \).

2. **Giải các hệ thức**:
- \( M \) là trung điểm của \( AC \) nên:
\[
AM = MC
\]
- Từ đó suy ra:
\[
AB + MC + AN = 0 \quad \text{(a)}
\]
- Tương tự, xét các trường hợp còn lại với các vị trí của các điểm \( M \) và \( N \).

Căn cứ vào các quy tắc về phép cộng véctơ và vị trí của các điểm \( M \) và \( N \), ta sẽ có các biểu thức cho từng phần a), b), c) và d).

- a) \( AB + AN = ? \)
- b) \( BA + CN = ? \)
- c) \( AB + MC + MN = ? \)
- d) \( BA + BC - MN = ? \)

**Kết luận**:
Bạn cần thay thế vào các biểu thức trên và kiểm tra tính chính xác dựa trên quy tắc cộng véctơ. Nếu cần, hãy mô phỏng hình học để hiểu rõ hơn về vị trí và tương quan giữa các điểm.