Để chứng minh bất đẳng thức

\[
a^2 + \frac{b^2}{4} \geq ab
\]

với mọi \(a, b\), ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương.

Bước 1: Chúng ta sắp xếp lại bất đẳng thức:

\[
a^2 - ab + \frac{b^2}{4} \geq 0
\]

Bước 2: Xét biểu thức bên trái và hoàn thành bình phương:

\[
a^2 - ab + \frac{b^2}{4} = \left(a - \frac{b}{2}\right)^2
\]

Bước 3: Vì \(\left(a - \frac{b}{2}\right)^2\) luôn không âm (lớn hơn hoặc bằng 0) với mọi giá trị của \(a\) và \(b\), nên ta có:

\[
\left(a - \frac{b}{2}\right)^2 \geq 0
\]

Kết luận:

\[
a^2 + \frac{b^2}{4} \geq ab
\]

với mọi \(a, b\). Bất đẳng thức đã được chứng minh.