Để giải quyết bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một theo yêu cầu.

### a) Tính giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = 25 \)

Biểu thức \( A \) được cho là:
\[
A = \frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x-3}}
\]
Thay \( x = 25 \):
\[
A = \frac{\sqrt{25-2}}{\sqrt{25-3}} = \frac{\sqrt{23}}{\sqrt{22}} = \sqrt{\frac{23}{22}}
\]

### b) Chứng minh \( B = \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-2}} \)

Biểu thức \( B \) là:
\[
B = \frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x-2}} - \frac{3}{\sqrt{x+2}} - \frac{12}{x-4}
\]

Để chứng minh \( B = \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-2}} \), ta cần biến đổi biểu thức này.

**1. Chúng ta có:**
\[
B = \frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x-2}} - \frac{3}{\sqrt{x+2}} - \frac{12}{x-4}
\]

**2. Quy đồng các phân số:**
- Tính phân số \(-\frac{12}{x-4}\):
\[
x-4 = \sqrt{x-2}^2 - 2
\]
- Thay \( \sqrt{x-2} \approx \sqrt{(x-1)}^2 - 1 \).

**Kết luận:**
- Cần thêm các thao tác cụ thể để chứng minh \( B = \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-2}} \). Ở đây chúng ta cần các bước cụ thể hơn cho phân tích thích hợp.

### c) Cho biểu thức \( P = A \cdot B \), tìm \( x \) để \( P > \frac{1}{2} \)

Có thể tính \( P \) bằng cách nhân biểu thức \( A \) và \( B \):
\[
P = \frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x-3}} \cdot \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-2}} = \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-3}}
\]

**Để tìm điều kiện \( P > \frac{1}{2} \)**:
\[
\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-3}} > \frac{1}{2}
\]

**Bình phương hai bên:**
\[
\frac{x-1}{x-3} > \frac{1}{4}
\]

**Giải bất phương trình:**
\[
4(x-1) > x-3 \Rightarrow 4x - 4 > x - 3 \Rightarrow 3x > 1 \Rightarrow x > \frac{1}{3}
\]

Vậy điều kiện là \( x > \frac{1}{3} \).

### Tóm tắt đáp án
- **a)** \( A = \sqrt{\frac{23}{22}} \)
- **b)** Cần chi tiết thêm để chứng minh
- **c)** \( x > \frac{1}{3} \)