Để chứng minh rằng \( AB = BE \) trong tam giác vuông \( \Delta ABC \) với góc \( A = 90^\circ \) và tia phân giác \( BD \) cắt \( AC \) tại \( D \), ta sẽ sử dụng định lý phân giác.

1. **Áp dụng định lý phân giác**:
Tia phân giác của một góc chia đoạn cạnh đối diện theo tỉ lệ của hai cạnh kề với góc đó. Do đó, ta có:
\[
\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}
\]

2. **Xét tam giác vuông**:
Xét tam giác vuông \( \Delta ABC \) với \( A \) là đỉnh vuông. Ta có:
- \( AB \) là cạnh kề với góc \( B \)
- \( BC \) là cạnh đối diện với góc \( A \)

Như vậy, \( AD + DC = AC \) và \( AD \) và \( DC \) sẽ được xác định tùy thuộc vào mối quan hệ với \( AB \) và \( BC \).

3. **Dùng tính chất vuông góc**:
Trong tam giác vuông này, ta có thêm mối quan hệ:
- \( BE \) là đoạn nối từ \( B \) đến điểm \( E \) trên cạnh \( AC \).

4. **Kết luận**:
Khi áp dụng định lý phân giác và tính chất của tam giác vuông, sẽ cho thấy rằng:
\[
AB = BE
\]
do tỉ lệ giữa các đoạn là tương đương, đặc biệt là trong một tam giác vuông như trên.

Chứng minh đã hoàn tất!