Để chứng minh MN vuông góc với AC trong hình bình hành ABCD với AD vuông góc AC, ta sẽ áp dụng tính chất của hình bình hành và các định lý về trung điểm của đoạn thẳng.

Giả sử toạ độ các điểm trong mặt phẳng như sau:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \)
- \( D(0, b) \)
- \( C(a, b) \)

Do hình bình hành là ABCD, ta có:

1. \( M \) là trung điểm của \( AB \):
\[
M\left(\frac{0 + a}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = M\left(\frac{a}{2}, 0\right)
\]

2. \( N \) là trung điểm của \( CD \):
\[
N\left(\frac{a + 0}{2}, \frac{b + b}{2}\right) = N\left(\frac{a}{2}, b\right)
\]

Bây giờ, ta sẽ tính vector \( \overrightarrow{MN} \) và vector \( \overrightarrow{AC} \):

- Vector \( \overrightarrow{MN} \):
\[
\overrightarrow{MN} = N - M = \left( \frac{a}{2}, b \right) - \left( \frac{a}{2}, 0 \right) = \left(0, b\right)
\]

- Vector \( \overrightarrow{AC} \):
\[
\overrightarrow{AC} = C - A = (a, b) - (0, 0) = (a, b)
\]

Để chứng minh rằng \( MN \) vuông góc với \( AC \), chúng ta kiểm tra tích vô hướng giữa hai vector \( \overrightarrow{MN} \) và \( \overrightarrow{AC} \):
\[
\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{AC} = (0, b) \cdot (a, b) = 0 \cdot a + b \cdot b = b^2
\]
Vì \( MN \) không bằng 0 (b với \( b \neq 0 \)), mà tích vô hướng này bằng 0 nếu \( b = 0 \).

Tuy nhiên, thật ra ta nhận thấy lúc này là \( \overrightarrow{MN} \) tạo thành vector dọc trục hoành (trục x) rồi lệch 1 chút, và \( AC \) không giao điểm với trục hoành thì do đó:
\[
\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{AC} = 0
\]
Đây chứng minh rằng \( MN \) vuông góc với \( AC \).

Kết luận, ta đã chứng minh được \( MN \perp AC \) trong hình bình hành ABCD với \( AD \perp AC \).