Cho hệ phương trình: mx + y = m^2 + 2m + 1 và x + y = 3m + 1 (với m là tham số). Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x + y > 0

Để tìm giá trị của \( m \) sao cho hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
mx + y = m^2 + 2m + 1 \\
x + y = 3m + 1
\end{cases}
\]
có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện \( x + y > 0 \), ta làm theo các bước sau:

### Bước 1: Giải hệ phương trình

Từ phương trình thứ hai, ta có thể biểu diễn \( y \):
\[
y = 3m + 1 - x
\]
Thay vào phương trình thứ nhất:
\[
mx + (3m + 1 - x) = m^2 + 2m + 1
\]
Simplifying gives:
\[
mx + 3m + 1 - x = m^2 + 2m + 1
\]
\[
(m - 1)x + 3m + 1 = m^2 + 2m + 1
\]
\[
(m - 1)x = m^2 + 2m + 1 - 3m - 1
\]
\[
(m - 1)x = m^2 - m
\]
\[
x = \frac{m^2 - m}{m - 1}
\]

### Bước 2: Điều kiện để có nghiệm duy nhất

Hệ có nghiệm duy nhất khi \( m - 1 \neq 0 \) (tức là \( m \neq 1 \)). Với \( m \neq 1 \), ta có:

\[
x = \frac{m(m - 1)}{m - 1} = m
\]
Thay giá trị \( x \) vào phương trình \( x + y = 3m + 1 \):
\[
m + y = 3m + 1
\]
\[
y = 2m + 1
\]

### Bước 3: Tìm điều kiện \( x + y > 0 \)

Ta có:
\[
x + y = m + (2m + 1) = 3m + 1
\]
Để có \( x + y > 0 \):
\[
3m + 1 > 0 \implies 3m > -1 \implies m > -\frac{1}{3}
\]

### Kết luận

Kết hợp các điều kiện:
- \( m \neq 1 \)
- \( m > -\frac{1}{3} \)

Vậy, với \( m > -\frac{1}{3} \) và \( m \neq 1 \), hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn \( x + y > 0 \).

Các giá trị hợp lệ của \( m \) là:
\[
m \in \left(-\frac{1}{3}, 1\right) \cup (1, +\infty)
\]