Để giải phương trình \( \cos(\cos(2x)) = 0 \) và \( \cos(\pi \cos(2x)) = 0 \), chúng ta sẽ giải từng phần một.

1. **Giải phương trình \( \cos(\cos(2x)) = 0 \)**

Phương trình này có thể được viết lại thành:
\[
\cos(2x) = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]
Bước tiếp theo là giải phương trình \( \cos(2x) = \frac{\pi}{2} + k\pi \).

Tuy nhiên, giá trị của hàm cosine nằm trong khoảng từ -1 đến 1. Do đó, để phương trình này có nghiệm, cần thỏa mãn:
\[
-1 \leq \frac{\pi}{2} + k\pi \leq 1
\]
Giải bất phương trình này để tìm giá trị của \( k \):

1.1. Từ \( -1 \leq \frac{\pi}{2} + k\pi \):
\[
k\pi \geq -1 - \frac{\pi}{2} \Rightarrow k\pi \geq -\frac{2 + \pi}{2}
\Rightarrow k \geq -\frac{2 + \pi}{2\pi}
\]

1.2. Từ \( \frac{\pi}{2} + k\pi \leq 1 \):
\[
k\pi \leq 1 - \frac{\pi}{2} \Rightarrow k\pi \leq \frac{2 - \pi}{2}
\Rightarrow k \leq \frac{2 - \pi}{2\pi}
\]

Xét nghiệm cho các giá trị của \( k \) khác nhau, ta kiểm tra:
- \( k = 0 \): \( \cos(2x) = \frac{\pi}{2} \) (không có nghiệm)
- \( k = -1 \): \( \cos(2x) = -\frac{\pi}{2} \) (không có nghiệm)
- \( k = -2 \): \( \cos(2x) = -\frac{3\pi}{2} \) (không có nghiệm)

Do đó, không có giá trị của \( k \) nào mà \( \cos(2x) = \frac{\pi}{2} + k\pi \) thỏa mãn sẽ cho nghiệm thực.

2. **Giải phương trình \( \cos(\pi \cos(2x)) = 0 \)**

Phương trình này có thể viết lại thành:
\[
\pi \cos(2x) = \frac{\pi}{2} + m\pi \quad (m \in \mathbb{Z})
\]
Sắp xếp lại ta có:
\[
\cos(2x) = \frac{1}{2} + \frac{m}{\pi}
\]
Giá trị của \( \cos(2x) \) cũng nằm trong khoảng từ -1 đến 1. Do đó, điều kiện là:
\[
-1 \leq \frac{1}{2} + \frac{m}{\pi} \leq 1
\]

2.1. Từ \( -1 \leq \frac{1}{2} + \frac{m}{\pi} \):
\[
\frac{m}{\pi} \geq -\frac{3}{2} \Rightarrow m \geq -\frac{3\pi}{2}
\]
2.2. Từ \( \frac{1}{2} + \frac{m}{\pi} \leq 1 \):
\[
\frac{m}{\pi} \leq \frac{1}{2} \Rightarrow m \leq \frac{\pi}{2}
\]

Từ đây, ta có thể tìm nghiệm cho \( m \), nhưng phương trình cosine có thể cho nghiệm âm. Cần kiểm tra các giá trị của \( m \) giữa \( -1.5\pi \) và \( \frac{\pi}{2} \), kết quả cụ thể tương tự như vậy.

Cuối cùng, ko có giá trị \( x \) nào sẽ thỏa mãn hai phương trình đã cho, do đó không có nghiệm cho hệ phương trình:

\(\cos(\cos(2x)) = 0\) và \(\cos(\pi \cos(2x)) = 0\).