Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau? Tìm x

Chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần của bài toán.

### 1. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:

a) \( D = 7 - 9x^2 - 8x \)

Biểu thức này là một hàm bậc 2, có dạng tổng quát như sau:

\[ D(x) = ax^2 + bx + c \]

với \( a = -9 \), \( b = -8 \) và \( c = 7 \). Để tìm giá trị lớn nhất, ta cần xác định đỉnh của parabol:

Đỉnh của hàm bậc 2 nằm ở:

\[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2(-9)} = \frac{8}{-18} = -\frac{4}{9} \]

Thay \( x = -\frac{4}{9} \) vào biểu thức \( D \):

\[
D\left(-\frac{4}{9}\right) = 7 - 9\left(-\frac{4}{9}\right)^2 - 8\left(-\frac{4}{9}\right)
\]

Tính từng phần:

\[
\left(-\frac{4}{9}\right)^2 = \frac{16}{81}
\]

\[
D\left(-\frac{4}{9}\right) = 7 - 9 \cdot \frac{16}{81} + \frac{32}{9}
\]

Chuyển về cùng mẫu số:

\[
D\left(-\frac{4}{9}\right) = 7 - \frac{144}{81} + \frac{288}{81} = 7 + \frac{144}{81} = 7 + \frac{144}{81} = \frac{567}{81} = 7.0
\]

Vậy, giá trị lớn nhất của \( D \) là \( \frac{567}{81} \).

b) \( E = -4 - x^2 + 6x \)

Giống với cách trên:

\[ E = -x^2 + 6x - 4 \]

Thì \( a = -1 \), \( b = 6 \).

Tìm đỉnh:

\[
x = -\frac{6}{2(-1)} = 3
\]

Thay vào \( E \):

\[
E(3) = -4 - (3)^2 + 6(3) = -4 - 9 + 18 = 5
\]

Giá trị lớn nhất của \( E \) là 5.

c) \( F = 8 - x^2 - 5x \)

Có dạng:

\[ F = -x^2 - 5x + 8 \]

Với \( a = -1 \), \( b = -5 \).

Tìm đỉnh:

\[
x = -\frac{-5}{2(-1)} = \frac{5}{-2} = -\frac{5}{2}
\]

Thay vào \( F \):

\[
F\left(-\frac{5}{2}\right) = 8 - \left(-\frac{5}{2}\right)^2 - 5\left(-\frac{5}{2}\right)
\]

Tính từng phần:

\[
F\left(-\frac{5}{2}\right) = 8 - \frac{25}{4} + \frac{25}{2} = 8 - \frac{25}{4} + \frac{50}{4} = 8 + \frac{25}{4} = \frac{32}{4} + \frac{25}{4} = \frac{57}{4}
\]

Giá trị lớn nhất của \( F \) là \( \frac{57}{4} \).

### 2. Tìm x với các phương trình đã cho:

1) \( x^2 + x - 12 = 0 \)

Sử dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{-1 \pm 7}{2}
\]

Công thức cho ra hai nghiệm:

\[
x_1 = 3, x_2 = -4
\]

2) \( x^2 - 8x + 7 = 0 \)

\[
x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2} = \frac{8 \pm 6}{2}
\]

Có hai nghiệm:

\[
x_1 = 7, x_2 = 1
\]

3) \( x^2 - 4x = 0 \)

\[
x(x - 4) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = 4
\]

4) \( x^2 - 8x - 9 = 0 \)

\[
x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2} = \frac{8 \pm 10}{2}
\]

Có hai nghiệm:

\[
x_1 = 9, x_2 = -1
\]

5) \( x^2 + 4x - 3 = 0 \)

\[
x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{7}}{2}
\]

Hai nghiệm:

\[
x_1 = -2 + \sqrt{7}, x_2 = -2 - \sqrt{7}
\]

6) \( x^2 + 5x + 4 = 0 \).

\[
x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{-5 \pm 3}{2}
\]

Có hai nghiệm:

\[
x_1 = -1, x_2 = -4
\]

Tóm lại, chúng ta đã tính được giá trị lớn nhất của các biểu thức và các nghiệm của các phương trình.