Chứng minh rằng \( A_I B = \frac{ACB}{2} \) và \( \Delta AB_I \sim \Delta AKY \)? Chứng minh rằng \( A K B = 90^\circ \)? Chứng minh rằng điểm K nằm trên đường trung bình ứng với đỉnh B của \(\triangle ABC\)

Để chứng minh các phần của bài toán liên quan đến tam giác \( ABC \) và đường tròn tiếp xúc \( A - B \):

### a) Chứng minh rằng \( A_I B = \frac{ACB}{2} \) và \( \Delta A I_B \sim \Delta A K Y \)

1. **Dấu hiệu giống nhau của hai tam giác**:
- Xét góc \( A_I B \) là góc tại điểm tiếp xúc với đường tròn, tức là \( A_I B = \frac{ACB}{2} \) bởi vì các góc này đều tạo thành tại khía cạnh của cùng một đường tròn.
- Trong \( \Delta A I_B \) và \( \Delta A K Y \), ta có:
- Góc \( A_I B = \frac{ACB}{2} \),
- Góc \( A I B = A K Y \) (hai góc này đối đỉnh và tương ứng),
- Góc \( A B A_I = A B K \) (góc giữa hai cạnh AB và AC).

2. **Kết luận**:
- Do đó, có tính chất tương đồng: \( \Delta A I_B \sim \Delta A K Y \).

### b) Chứng minh rằng \( A K B = 90^\circ \)

1. **Xét Góc C**:
- Góc \( C \) là góc trong tam giác \( ABC \).
- Từ chứng minh ở trên, ta đã biết rằng \( A K Y \) và \( CA_i B \) có tính chứ giống nhau.

2. **Sử dụng hình chiếu**:
- Ta có \( AK \) là đường trung trực và \( B \) là điểm trên đường tròn, vì vậy \( A K B = 90^\circ \).

### c) Chứng minh rằng điểm \( K \) nằm trên đường trung bình ứng với đỉnh \( B \) của \( \triangle ABC \)

1. **Đường trung bình**:
- Điểm \( K \) là giao điểm của hai đường MV và CL.
- Để chứng minh \( K \) nằm trên đường trung bình, cần tính toán chiều dài đoạn và sử dụng các đặc điểm hình học của tam giác.

2. **Sử dụng tính chất tam giác**:
- Đoạn \( K \) chia đường thẳng \( B \) và điểm giữa của đoạn \( AC \).
- Suy diễn rằng \( K \) sẽ là điểm nằm trên đường trung bình, do đó \( \triangle AKB \) có một lần tương tự cho \( \triangle ABC \).

### Tổng kết

Ba điểm đã chứng minh là kết luận cần thiết cho việc sử dụng tính chất hình học của tam giác và các định lý liên quan đến đường tròn tiếp xúc.