Cho hệ phương trình: x + y =1 và mx –y =2m. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thõa mãn x > 0, y > 0

Để giải bài toán, ta xét hệ phương trình:

\[ x + y = 1 \] \[ mx - y = 2m \]

### a. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn \( x > 0 \), \( y > 0 \)

Đầu tiên, ta giải hệ phương trình này. Từ phương trình đầu tiên, ta có:

\[ y = 1 - x \]

Thay \( y \) vào phương trình thứ hai:

\[ mx - (1 - x) = 2m \]

Sắp xếp lại, ta có:

\[ mx + x - 1 = 2m \]

\[ (m + 1)x - 1 = 2m \]

\[ (m + 1)x = 2m + 1 \]

\[ x = \frac{2m + 1}{m + 1} \]

Tiếp theo, thay \( x \) vào biểu thức của \( y \):

\[ y = 1 - x = 1 - \frac{2m + 1}{m + 1} = \frac{(m + 1) - (2m + 1)}{m + 1} = \frac{m + 1 - 2m - 1}{m + 1} = \frac{-m}{m + 1} \]

Như vậy, hệ nghiệm của chúng ta là:

\[
x = \frac{2m + 1}{m + 1}, \quad y = \frac{-m}{m + 1}
\]

Để \( x > 0 \) và \( y > 0 \):

1. **Xét điều kiện cho \( x > 0 \)**:
\[
\frac{2m + 1}{m + 1} > 0 \implies 2m + 1 > 0 \text{ và } m + 1 > 0
\]
Từ đây ta có:
\[
2m + 1 > 0 \implies m > -\frac{1}{2}
\]

\[
m + 1 > 0 \implies m > -1
\]

Vậy, tổng hợp lại, ta có \( m > -\frac{1}{2} \).

2. **Xét điều kiện cho \( y > 0 \)**:
\[
\frac{-m}{m + 1} > 0 \implies -m > 0 \text{ và } m + 1 > 0
\]
Từ đây ta có:
\[
-m > 0 \implies m < 0
\]

Kết hợp lại, điều kiện cho \( m \) là:
\[
-\frac{1}{2} < m < 0
\]

### b. Chứng minh rằng đường thẳng \( mx - y = 2m \) luôn đi qua điểm cố định với mọi \( m \)

Để chứng minh rằng đường thẳng \( mx - y = 2m \) đi qua một điểm cố định, ta cần tìm một điểm \( (x_0, y_0) \) sao cho:

\[
mx_0 - y_0 = 2m \quad \forall m
\]

Giả sử điểm cố định là \( \left(0, -2\right) \):

Thay vào phương trình:

\[
m \cdot 0 - (-2) = 2m
\]
\[
2 = 2m
\]

Điều này không phải đúng với mọi \( m \). Thay vào đó, ta thử với điểm cố định khác, chẳng hạn \( (1, 1) \):

Thay vào phương trình:

\[
m \cdot 1 - 1 = 2m
\]
\[
m - 1 = 2m
\]
\[
-m = 1 \quad \text{(hệ này không đúng với mọi } m\text{)}
\]

Thay vào kiểm tra với điểm \( (1, 1) \):

Thay vào phương trình trên ta thấy rằng ở đây có nhầm lẫn. Để việc kiểm tra đơn giản hơn, hãy kiểm tra điểm đã tính.

Chúng ta có thể tìm vị trí tiếp diện của phương trình trên với \( x + y = 1 \) và từ đó dẫn ra điểm.

Rõ ràng, đường thẳng \( mx - y = 2m \) sẽ đi qua nhiều điểm của {\( x + y = 1 \)} và điểm có thể thay đổi nhưng các điểm sẽ thỏa mãn bằng cách cho kết quả nối tiếp của đường thẳng.

Điều này cho thấy rằng, hai đường thẳng sẽ luôn giao nhau tại một điểm giá trị hàm số cho phép cho tất cả các m là một số không xác định không cần thiết như ở phần nghiệm, cho biết rằng, chúng không cần qua một nghĩa đơn cụ thể.

Tóm lại, đường thẳng \( mx - y = 2m \) sẽ luôn có nghiệm tại điểm hợp một cách biến đổi và bất kì giá trị của \( m \) mà thỏa mãn.