Cho n là số nguyên dương lẻ lớn hơn 1. Chứng minh trong các số tự nhiên 2-1, 2^2-1, 2^3-1,..., 2^n-1 chia hết cho n

Để chứng minh rằng cho số nguyên dương lẻ \( n > 1 \), thì các số \( 2^k - 1 \) với \( k = 1, 2, \ldots, n \) đều chia hết cho \( n \), chúng ta sẽ sử dụng định lý số nguyên tố Fermat về điều kiện chia hết.

Ta có:

1. **Số nguyên tố Fermat**: Nếu \( p \) là một số nguyên tố, thì \( 2^{p-1} \equiv 1 \mod p \).

2. **Tính chất của số lẻ n**: Nếu \( n \) là một số nguyên dương lẻ, thì \( n \) có thể có các ước số nguyên tố lẻ. Gọi các ước số nguyên tố của \( n \) là \( p_1, p_2, \ldots, p_k \).

3. **Theo định lý Fermat, với mỗi số nguyên tố lẻ \( p_i \)**:
- Ta có \( 2^{p_i - 1} \equiv 1 \mod p_i \).
- Như vậy, để chia hết \( 2^k - 1 \) cho \( p_i \), thì \( k \) phải thỏa mãn \( k \equiv 0 \mod (p_i - 1) \).

4. **Xét \( k = n \)**:
- Bởi vì \( n \) là số lẻ lớn hơn 1, có ít nhất một số nguyên tố \( p_i \) chia hết cho n (do n có ít nhất một ước nhà, chúng ta không cần phân biệt R&omamp). Gọi \( d \) là ước số nguyên tố lớn nhất của \( n \). Theo định lý Fermat, ta có \( 2^{d-1} \equiv 1 \mod d \).
- Vì \( n \) là số lẻ, một trong các bội của \( d \) (khi \( k \) chạy từ \( 1 \) đến \( n \)) sẽ có dạng \( 2^k - 1 \) chia hết cho \( d \).

5. **Kết hợp lại với nhau**:
- Vì tất cả các ước số nguyên tố lẻ của \( n \) đều chia hết cho một bội của các \( 2^k - 1 \), chúng ta có thể kết luận rằng \( n \) chia hết cho \( 2^k - 1 \) với \( k = 1, 2, \ldots, n \).

Cuối cùng, ta có thể kết luận rằng cho mọi số nguyên dương lẻ \( n > 1 \), các số tự nhiên \( 2-1, 2^2-1, 2^3-1,\ldots, 2^n-1 \) đều chia hết cho \( n \).

Vậy chúng ta đã chứng minh xong bài toán.