Để giải bài toán này, ta sẽ xem xét từng yêu cầu:

### a) Điều kiện xác định của phương trình
Phương trình đã cho là:
\[
1 + \frac{1}{2+x} = \frac{12}{x^3 + 8}
\]
Điều kiện xác định được đưa ra là \(x \neq -2\) (để mẫu không bằng 0).

Ngoài ra, \(x^3 + 8 = 0\) cũng cần được kiểm tra:
\[
x^3 + 8 = 0 \implies x^3 = -8 \implies x = -2
\]
Như vậy, điều kiện xác định có thể nói là \(x \neq -2\).

### b) Quy đồng mẫu
Khi quy đồng mẫu giữa hai vế của phương trình, ta cần tìm mẫu chung. Mẫu thức chung của hai vế là:
\[
(x+2)(x^2 + 2x + 4)
\]
Mẫu thức \(x^2 + 2x + 4\) chính là kết quả của việc phân tích \(x^3 + 8\).

### c) Phương trình có ba nghiệm
Phương trình đã cho sẽ có ba nghiệm nếu như nó có dạng bậc ba. Điều này đúng, vì \(x^3 + 8\) là một phương trình bậc ba, sẽ có 3 nghiệm (có thể là nghiệm thật hoặc nghiệm phức).

### d) Tất cả các nghiệp đều có giá trị nguyên dương
Để tìm nghiệm của phương trình, ta cần giải phương trình đã quy đồng mẫu và kiểm tra các nghiệm. Thực tế, để tất cả các nghiệm đều là giá trị nguyên dương, ta cần phân tích nghiệm của phương trình bậc ba đó.

Nếu có ba nghiệm khác nhau là:
- \(x_1\)
- \(x_2\)
- \(x_3\)

với điều kiện \(x_1, x_2, x_3 > 0\), thì ta có thể khẳng định rằng tất cả các nghiệm của phương trình đều là giá trị nguyên dương.

### Kết luận
- Điều kiện xác định là \(x \neq -2\).
- Mẫu thức chung của phương trình khi quy đồng là \((x+2)(x^2 + 2x + 4)\).
- Phương trình có thể có ba nghiệm.
- Để tất cả các nghiệm là giá trị nguyên dương, cần kiểm tra cụ thể sau khi giải phương trình.