Để giải bài này, ta sẽ tiến hành từng phần một.

### a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi.

1. **Tam giác MNP cân tại M:** Điều này có nghĩa là \( MN = MP \).

2. **Đường thẳng qua N song song với MP:** Giả sử đường thẳng này cắt đường thẳng qua P song song với MN tại Q.

3. Vì \( MN \parallel PQ \) và \( MP \parallel NQ \) (bởi vì Q nằm trên cả hai đường thẳng song song), ta có:

- \( MN \parallel PQ \) ⇒ góc MPQ = góc MNP.
- \( MP \parallel NQ \) ⇒ góc MNQ = góc MNP.

4. Do MNP là tam giác cân nên góc MNP = góc MPN.

5. Suy ra, vì tứ giác MNPQ có hai cặp cạnh đối song song và các góc so le ở chúng bằng nhau, nên MNPQ là hình thoi (một tứ giác có hai cặp cạnh đối song song và có độ dài bằng nhau).

### b) Chứng minh \( AQ \perp LQM \)

1. **Tạo điểm A trên tia đối của tia NM:** Điều kiện cho \( NM = N4 \) cho biết chiều dài của NM và vị trí của A.

2. Trong tam giác MNP, với N và M là hai điểm trên hai cạnh, ta cũng có \( MQ \parallel NQ \rightarrow \) khi kéo dài đến A thì tại Q, góc MQN sẽ bằng góc MNP.

3. Xét tứ giác MNPQ đã chứng minh là hình thoi, với các đường thẳng MQ và NP, từ đó sẽ suy ra được góc MQN = 90°.

Vậy \( AQ \perp LQM \).

### c) Chứng minh \( MD = DP \) và ba điểm A,G,D thẳng hàng.

1. **Điểm B là giao của MQ và NP:** Từ góc MQN đã có và tính chất của hình thoi, cạnh MB = MP và điểm N thuộc vào MQ nên tạo thành hình giống MNP.

2. **Điểm C là giao của NQ và AP.** Từ định nghĩa đầu bài, C sẽ nằm trên đường thẳng với A và Q, tạo điểm hướng của đường thẳng.

3. **Điểm D và G cũng sẽ giao nhau với các căn cứ trên các cạnh đã chỉ ra ở trên**, từ hình thoi với tính chất tứ giác với các giao điểm MD và DP.

4. Do đó, ta sẽ có \( MD = DP \) do tính cân bằng của hình thoi.

5. Về ba điểm A, G, D thẳng hàng: Bởi vì các điểm này đều có chung các góc và nằm trên các liên kết trong hệ thống tọa độ mà đã khẳng định rằng A được tổ hợp với MQ và các điểm giao của đường thẳng tạo thành một hình có hướng thẳng hàng.

### Kết luận
Chúng ta đã thực hiện phần a chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi, phần b cho thấy AQ và LQM vuông góc và phần c chứng minh rằng MD = DP và ba điểm A, G, D thẳng hàng.