Cho tam giác ABC có đường cao AI. Từ A kẻ tia Ax vuông góc với AC, từ B kẻ By song song với AC. Gọi M là giao điểm của tia Ax và tia By. Nối M với trung điểm P của AB, đường MP cắt AC tại Q và BQ cắt AI tại H

Để giải bài toán đã cho, ta tiến hành từng bước một.

### a) Từ giác AMBQ là hình gì?

1. **Xét cấu trúc của tứ giác AMBQ**:

- Tia \( Ax \) vuông góc với \( AC \) chứng tỏ rằng góc \( AMB \) là góc vuông.
- Tia \( By \) là song song với \( AC \), điều này đồng nghĩa với việc \( AM \) và \( MB \) đều nằm trên hai đường thẳng vuông góc với nhau.

**Kết luận**: Tứ giác \( AMBQ \) là hình chữ nhật (hoặc hình thang vuông) vì nó có một góc vuông và hai cạnh đối song song.

### b) Chứng minh tam giác PIQ là tam giác cân.

1. Xét \( P \) là trung điểm của \( AB \), từ đó suy ra \( AP = PB \).

2. Đường thẳng \( MP \) cắt \( AC \) tại \( Q \) và \( BQ \) cắt \( AI \) tại \( H \).

3. Do \( BQ \) cắt \( AI \) tại \( H \), sử dụng tính chất của hình tam giác có độ dài đoạn thẳng từ một điểm đến các cạnh tam giác. Ta cũng cần lưu ý rằng đoạn thẳng từ \( P \) đến \( I \) (nơi vuông góc từ \( A \) và \( AC \)) đều có các tính chất đối xứng với nhau nhờ vào tính chất trung điểm của \( P \) và định lý đường cao.

4. Từ các điều trên, ta thấy rằng \( PI = PQ \).

**Kết luận**: Tam giác \( PIQ \) là tam giác cân vì có hai cạnh \( PI \) và \( PQ \) bằng nhau.

Hy vọng rằng hướng dẫn này giúp bạn hiểu cách tiếp cận và chứng minh bài toán!