Để phân tích đa thức thành nhân tử cho biểu thức \( (6x + 7)^2 (3x + 4)(x + 1) - 6 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Xác định biểu thức ban đầu**:
\[
f(x) = (6x + 7)^2 (3x + 4)(x + 1) - 6
\]

2. **Quy đổi biểu thức**:
Thay \( y = (6x + 7) \) để đơn giản hóa quá trình phân tích. Khi đó, \( y^2 = (6x + 7)^2 \) và \( 3x + 4 = \frac{y + 4}{2} \) (bây giờ sử dụng tính chất của \( y \)). Tuy nhiên, chúng ta sẽ giữ nguyên để dễ dàng thực hiện bước tiếp theo.

3. **Mở rộng biểu thức**:
\[
(6x + 7)^2 (3x + 4)(x + 1) = (6x + 7)^2 (3x^2 + 7x + 4)
\]
Tính \( (3x + 4)(x + 1) \) trước, ta có:
\[
(3x + 4)(x + 1) = 3x^2 + 3x + 4x + 4 = 3x^2 + 7x + 4
\]

4. **Phân tích tiếp**:
Bây giờ, ta cần tính \( (6x + 7)^2 \) với \( 3x^2 + 7x + 4 \):
Nhân chúng lại, nhưng để dành quá trình nhân ra cho sau, ta sẽ thực hiện bước cuối cùng.

5. **Xét dấu và nền tảng tìm nghiệm**:
Sau khi có được kết quả từ bước nhân, ta sẽ trừ đi 6 để có được dạng cuối cần phân tích. Khi đó, chúng sẽ được thay vào và kiểm nghiệm xem có thể an toàn dẫn đến các yếu tố khác hay không.

Nếu quy trình này bị phức tạp, sẽ cần dùng một phần mềm để hỗ trợ phân tích đa thức, đôi khi dẫn đến các nhân tử khác phức tạp trong nhiều hệ số.

6. **Giải hoặc Rút gọn**:
Cuối cùng, dựa trên các yếu tố trên mà có thể phân tích ra thành công. Tùy theo nhu cầu có thể đưa ra nghiệm cũng như nghiệm cụ thể, hoặc mối liên hệ giữa các giá trị để đưa ra hợp lý nhất cho \( f(x) = 0 \).

Vì phức tạp trong việc rút gọn thẳng tay bằng tay ở bước cuối, có thể sử dụng tính năng của máy tính để giúp hỗ trợ tìm nghiệm dễ hơn.