Để giải phương trình \(|2x - 1| - |x + \frac{1}{3}| = 0\), ta có thể sắp xếp lại như sau:

\[
|2x - 1| = |x + \frac{1}{3}|
\]

Sau đó, ta sẽ xét các trường hợp dựa trên dấu của các biểu thức trong giá trị tuyệt đối.

### Bước 1: Xác định các điểm phân chia

- \(2x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2}\)
- \(x + \frac{1}{3} = 0 \implies x = -\frac{1}{3}\)

Sẽ có 3 trường hợp để xem xét:

1. **Trường hợp 1**: \(x < -\frac{1}{3}\)
2. **Trường hợp 2**: \(-\frac{1}{3} \leq x < \frac{1}{2}\)
3. **Trường hợp 3**: \(x \geq \frac{1}{2}\)

### Bước 2: Giải từng trường hợp

**Trường hợp 1**: \(x < -\frac{1}{3}\)

Ở đây, cả hai biểu thức đều âm:
\[
|2x - 1| = -(2x - 1) = -2x + 1
\]
\[
|x + \frac{1}{3}| = -(x + \frac{1}{3}) = -x - \frac{1}{3}
\]

Phương trình trở thành:
\[
-2x + 1 = -x - \frac{1}{3}
\]
Giải phương trình:
\[
-2x + 1 + x + \frac{1}{3} = 0
\]
\[
-x + \frac{4}{3} = 0 \implies x = \frac{4}{3}
\]
Nhưng \(x = \frac{4}{3} > -\frac{1}{3}\), nên không phù hợp.

**Trường hợp 2**: \(-\frac{1}{3} \leq x < \frac{1}{2}\)

Ở đây, \(2x - 1\) âm và \(x + \frac{1}{3}\) dương:
\[
|2x - 1| = -2x + 1
\]
\[
|x + \frac{1}{3}| = x + \frac{1}{3}
\]

Phương trình trở thành:
\[
-2x + 1 = x + \frac{1}{3}
\]
Giải phương trình:
\[
-2x - x + 1 - \frac{1}{3} = 0
\]
\[
-3x + \frac{2}{3} = 0 \implies 3x = \frac{2}{3} \implies x = \frac{2}{9}
\]
Kiểm tra điều kiện: \(-\frac{1}{3} \leq \frac{2}{9} < \frac{1}{2}\) là đúng.

**Trường hợp 3**: \(x \geq \frac{1}{2}\)

Ở đây, cả hai biểu thức đều dương:
\[
|2x - 1| = 2x - 1
\]
\[
|x + \frac{1}{3}| = x + \frac{1}{3}
\]

Phương trình trở thành:
\[
2x - 1 = x + \frac{1}{3}
\]
Giải phương trình:
\[
2x - x - 1 - \frac{1}{3} = 0
\]
\[
x - \frac{4}{3} = 0 \implies x = \frac{4}{3}
\]
Kiểm tra điều kiện: \( \frac{4}{3} \geq \frac{1}{2}\) là đúng.

### Kết luận

Giải phương trình có hai nghiệm là:

\[
x = \frac{2}{9} \quad \text{và} \quad x = \frac{4}{3}
\]