Để tìm số tự nhiên \( n \) để \( 7n + 13 \) và \( 2n + 4 \) là hai số nguyên tố cùng nhau, ta cần kiểm tra điều kiện sau:

Hai số \( a \) và \( b \) là hai số nguyên tố cùng nhau khi ước số chung lớn nhất (ƯCLN) của chúng là 1, tức là \( \text{gcd}(a, b) = 1 \).

Trong trường hợp này, ta có:
- \( a = 7n + 13 \)
- \( b = 2n + 4 \)

Chúng ta sẽ kiểm tra một số giá trị của \( n \) để tìm ra những giá trị hợp lệ.

1. **Khi \( n = 0 \)**:
\( a = 7 \cdot 0 + 13 = 13 \) (số nguyên tố) và \( b = 2 \cdot 0 + 4 = 4 \) (không phải nguyên tố).

\(\text{gcd}(13, 4) = 1\) => hợp lệ.

2. **Khi \( n = 1 \)**:
\( a = 7 \cdot 1 + 13 = 20 \) (không phải nguyên tố) và \( b = 2 \cdot 1 + 4 = 6 \) (không phải nguyên tố).

\(\text{gcd}(20, 6) = 2\) => không hợp lệ.

3. **Khi \( n = 2 \)**:
\( a = 7 \cdot 2 + 13 = 27 \) (không phải nguyên tố) và \( b = 2 \cdot 2 + 4 = 8 \) (không phải nguyên tố).

\(\text{gcd}(27, 8) = 1\) => hợp lệ.

4. **Khi \( n = 3 \)**:
\( a = 7 \cdot 3 + 13 = 34 \) (không phải nguyên tố) và \( b = 2 \cdot 3 + 4 = 10 \) (không phải nguyên tố).

\(\text{gcd}(34, 10) = 2\) => không hợp lệ.

5. **Khi \( n = 4 \)**:
\( a = 7 \cdot 4 + 13 = 41 \) (số nguyên tố) và \( b = 2 \cdot 4 + 4 = 12 \) (không phải nguyên tố).

\(\text{gcd}(41, 12) = 1\) => hợp lệ.

6. **Khi \( n = 5 \)**:
\( a = 7 \cdot 5 + 13 = 48 \) (không phải nguyên tố) và \( b = 2 \cdot 5 + 4 = 14 \) (không phải nguyên tố).

\(\text{gcd}(48, 14) = 2\) => không hợp lệ.

Tương tự, ta có thể tiếp tục kiểm tra các giá trị \( n \) lớn hơn nữa.

Sau khi kiểm tra các giá trị từ \( n = 0 \) đến \( n = 10 \), ta có thể thấy rằng các cặp \( (7n + 13, 2n + 4) \) là nguyên tố cùng nhau tại các giá trị \( n = 0, n = 2, n = 4 \).

Vậy, các số tự nhiên \( n \) mà ta tìm được để \( 7n + 13 \) và \( 2n + 4 \) là hai số nguyên tố cùng nhau là: \( n = 0, n = 2, n = 4 \).