Cho xyz=(-1)/2024 và x+ y + z = 0. Tính M = (x+y).(y+z).(x+z)

Để tính \( M = (x+y)(y+z)(z+x) \) dưới các điều kiện \( xyz = -\frac{1}{2024} \) và \( x+y+z = 0 \), ta có thể thực hiện như sau:

Bắt đầu từ điều kiện \( x + y + z = 0 \), ta có thể viết lại:

\[
z = - (x + y)
\]

Thay vào công thức của \( M \):

\[
M = (x+y)(y+z)(z+x)
\]

Thay \( z = - (x+y) \) vào \( M \):

\[
M = (x+y)(y - (x+y))(x - (x+y))
\]

Khi đó, ta có:

\[
y + z = y - (x+y) = -x
\]
\[
z + x = - (x+y) + x = -y
\]

Vậy \( M \) có thể viết lại là:

\[
M = (x+y)(-x)(-y) = (x+y)xy
\]

Bây giờ, ta biết từ điều kiện \( xyz = -\frac{1}{2024} \):

\[
x \cdot y \cdot z = -\frac{1}{2024}
\]

Ta có \( z = -\frac{1}{2024xy} \).

Với \( x+y = -z \):

Sử dụng \( z = -\frac{1}{2024xy} \):

\[
x+y = \frac{1}{2024xy}
\]

Thay vào công thức \( M \):

\[
M = (x+y)xy = \frac{1}{2024xy} \cdot xy = \frac{1}{2024}
\]

Vậy cuối cùng, giá trị của \( M \) là:

\[
\boxed{\frac{1}{2024}}
\]