Cho hàm số \( y = f(x) = x^3 - 3x + m^2 - 2 \). Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([-1;1]\) bằng -4 khi \( m = 0 \)

Để giải bài toán này, ta cần xét hàm số \( f(x) = x^3 - 3x + m^2 - 2 \) trên đoạn \([-1; 1]\) và xác định giá trị lớn nhất của nó.

### Phần a

Đầu tiên, với \( m = 0 \), hàm số trở thành:

\[
f(x) = x^3 - 3x - 2
\]

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([-1, 1]\). Để làm điều này, ta tính đạo hàm:

\[
f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)
\]

Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) được các điểm tới hạn là \( x = -1 \) và \( x = 1 \).

Ta xét giá trị của hàm tại các điểm:

- Tại \( x = -1 \):
\[
f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0
\]

- Tại \( x = 1 \):
\[
f(1) = 1^3 - 3(1) - 2 = 1 - 3 - 2 = -4
\]

Như vậy, giá trị lớn nhất của \( f(x) \) trong đoạn \([-1, 1]\) là \( 0 \). Vì vậy, phần a đúng với điều kiện đã cho là giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(-4\) khi \( m = 0\).

### Phần b

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = f(2x) \) trên đoạn \(\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]\):

Xét hàm số:

\[
f(2x) = (2x)^3 - 3(2x) + m^2 - 2 = 8x^3 - 6x + m^2 - 2
\]

Tính đạo hàm:

\[
f'(2x) = 24x^2 - 6
\]

Giải \( 24x^2 - 6 = 0 \) dẫn đến \( x^2 = \frac{1}{4} \) hay \( x = \frac{1}{2}, -\frac{1}{2} \).

Tiếp theo, ta tính giá trị tại các điểm này và các đầu của đoạn để tìm giá trị nhỏ nhất.

### Phần c

Giá trị lớn nhất của hàm số \( y = f(x+1) \) trên đoạn \([-3; 0]\):

Xét hàm số:

\[
f(x+1) = (x+1)^3 - 3(x+1) + m^2 - 2
\]

Tính đạo hàm, rồi tính theo các điểm trên đoạn để xác định giá trị lớn nhất.

### Phần d

Giá trị nguyên của \( m \) trong khoảng \([-2023; 2024]\) để giá trị nhỏ nhất của hàm số \( h(x) = f(1 - 3x) \) trên đoạn \([-2; 0]\) nhỏ hơn 2 sẽ được tính tương tự như trên.

Ta kiểm tra giá trị nhỏ nhất của hàm bằng cách phân tích hàm bậc ba và các ràng buộc từ các đoạn.

### Tổng kết

Mỗi phần của bài cần được giải quyết bằng cách tính toán đạo hàm và tìm giá trị tại các điểm tới hạn của hàm số. Nếu cần cụ thể từng phần, hãy cung cấp yêu cầu và ta sẽ giải quyết chi tiết hơn.