Câu 5: Cho hàm số \( y = f(x) \) có đồ thị như hình bên dưới. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \( m \) để phương trình \( 25f'(x) + 125m = m \cdot 5f'(x) + 5f'(x) + 3 \) có đúng 5 nghiệm thực phân biệt?

Để giải bài toán này, trước tiên ta cần biến đổi phương trình đã cho:

\[
25f'(x) + 125m = m \cdot 5f'(x) + 5f'(x) + 3.
\]

Ta sắp xếp lại phương trình:

\[
25f'(x) - m \cdot 5f'(x) - 5f'(x) = 3 - 125m.
\]

Điều này có thể viết lại thành:

\[
(25 - 5m - 5)f'(x) = 3 - 125m,
\]

hay

\[
(20 - 5m)f'(x) = 3 - 125m.
\]

Bây giờ ta phân tích hai trường hợp:

1. **Trường hợp \( 20 - 5m \neq 0 \)**:
- Khi đó, ta có thể chia cả hai vế cho \( 20 - 5m \):
\[
f'(x) = \frac{3 - 125m}{20 - 5m}.
\]

Để phương trình \( f'(x) = k \) (với \( k = \frac{3 - 125m}{20 - 5m} \)) có 5 nghiệm thực phân biệt, \( k \) phải nằm giữa giá trị cực tiểu và cực đại của \( f'(x) \).

Qua đồ thị, ta thấy \( f'(x) \) có giá trị cực đại là \( 3 \) và cực tiểu là \( -1 \).

Vậy ta cần thỏa mãn:

\[
-1 < \frac{3 - 125m}{20 - 5m} < 3.
\]

Bây giờ ta sẽ giải hai bất phương trình này.

**Giải bất phương trình bên trái**:
\[
-1 < \frac{3 - 125m}{20 - 5m}.
\]

Sau khi nhân chéo (chú ý đến dấu):
\[
-1(20 - 5m) < 3 - 125m \Rightarrow -20 + 5m < 3 - 125m \Rightarrow 130m < 23 \Rightarrow m < \frac{23}{130} \approx 0.1769.
\]

**Giải bất phương trình bên phải**:
\[
\frac{3 - 125m}{20 - 5m} < 3.
\]

Nhân chéo (chú ý đến dấu):
\[
3(20 - 5m) > 3 - 125m \Rightarrow 60 - 15m > 3 - 125m \Rightarrow 110m > -57 \Rightarrow m > -\frac{57}{110} \approx -0.5182.
\]

Kết hợp lại, ta được:
\[
-0.5182 < m < 0.1769.
\]

2. **Trường hợp \( 20 - 5m = 0 \)**:
- Tức là \( m = 4 \). Khi đó, phương trình trở thành:
\[
0 \cdot f'(x) = 3 - 500,
\]
hay \( 0 = -497 \), không có nghiệm nào.

Tóm lại, các giá trị nguyên dương của \( m \) trong khoảng \( -0.5182 < m < 0.1769 \) chỉ có giá trị \( m = 1 \).

Vì vậy, ta có tất cả **1 giá trị nguyên dương** của tham số \( m \) để phương trình có đúng 5 nghiệm thực phân biệt.