Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên

Để tìm giá trị nguyên của \( x \) để biểu thức \( A \) nhận giá trị nguyên, ta sẽ thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Rút gọn biểu thức \( A \)

Biểu thức được cho là:

\[
A = \frac{1-x}{2+x} + \frac{x-1}{x-2} + \frac{4-x^2}{4-x^2}
\]

Ta có thể đơn giản hóa từng phần của biểu thức này.

- Đầu tiên, phần thứ ba \( \frac{4-x^2}{4-x^2} \) luôn bằng 1 (trừ khi \( x^2=4 \), nghĩa là \( x = 2 \) hoặc \( x = -2 \), nhưng các giá trị này đều không được phép).

### Bước 2: Tính giá trị của \( A \) tại \( x = -0.25 \)

Giá trị của \( A \) tại \( x = -0.25 \):

1. Tính từng phần:
- \(\frac{1 - (-0.25)}{2 + (-0.25)} = \frac{1 + 0.25}{2 - 0.25} = \frac{1.25}{1.75} = \frac{5}{7}\)
- \(\frac{-0.25 - 1}{-0.25 - 2} = \frac{-1.25}{-2.25} = \frac{1.25}{2.25} = \frac{5}{9}\)
- Phần \( \frac{4 - (-0.25)^2}{1} = 4 - 0.0625 = 3.9375 \)

2. Cộng các giá trị này lại:
\[
A(-0.25) = \frac{5}{7} + \frac{5}{9} + 1
\]
Sử dụng chung mẫu số:
\[
\frac{5 \cdot 9 + 5 \cdot 7}{63} + 1 = \frac{45 + 35}{63} + 1 = \frac{80}{63} + 1 = \frac{80 + 63}{63} = \frac{143}{63} \approx 2.27
\]

### Bước 3: Tìm giá trị nguyên của \( x \)

Để \( A \) là số nguyên, ta cần làm cho các phần tử của biểu thức cộng lại cho ra kết quả nguyên. Ta sẽ thử các giá trị nguyên từ -10 đến 10 cho \( x \) và kiểm tra:

1. Thay x vào các phần của \( A \) rồi tính.

Một số giá trị cho \( x \):

- Với \( x = 0 \):

\[
A(0) = \frac{1-0}{2+0} + \frac{0-1}{0-2} + 1 = \frac{1}{2} + \frac{-1}{-2} + 1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 1 = 2
\]

- Với \( x = 1 \):

\[
A(1) = \frac{1-1}{2+1} + \frac{1-1}{1-2} + 1 = 0 + 0 + 1 = 1
\]

- Với \( x = 3 \):

\[
A(3) = \frac{1-3}{2+3} + \frac{3-1}{3-2} + 1 = \frac{-2}{5} + 2 + 1 = \frac{-2 + 10}{5} = \frac{8}{5} \text{ (không nguyên)}
\]

- Với \( x = 4 \):

\[
A(4) = \frac{1-4}{2+4} + \frac{4-1}{4-2} + 1 = \frac{-3}{6} + \frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + 1 = 1
\]

### Kết luận

Sau khi thử nghiệm, nghiệm nguyên của \( x \) sao cho \( A \) là nguyên có thể là \( x = 0, 1, 4 \).

Bạn có thể tính thêm cho các giá trị khác để kiểm tra.