Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ) . Gọi I là trung điểm của BC . Qua I vẽ IM vuông góc với AB ( M thuộc AB ), vẽ IN vuông góc với AC ( N thuộc AC )

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a) Chứng minh tứ giác AMIN là hình chữ nhật

1. **Điều kiện để AMIN là hình chữ nhật**:
Tứ giác AMIN sẽ là hình chữ nhật nếu cả hai cạnh AM và IN đều vuông góc với nhau và hai cạnh AI và MN đều vuông góc với nhau.

2. **Xét điểm M**:
- Vì IM vuông góc với AB nên góc AIM = 90°.

3. **Xét điểm N**:
- Vì IN vuông góc với AC nên góc AIN = 90°.

4. **Kết luận**:
- Từ đó, chúng ta có rằng: \( \angle AIM + \angle AIN = 90° + 90° = 180° \).
- Vậy tứ giác AMIN là hình chữ nhật với các cặp góc vuông.

### b) Chứng minh tứ giác ADCI là hình thoi

1. **Định nghĩa hình thoi**:
Tứ giác ADCI là hình thoi nếu bốn cạnh AD, DC, CI và IA đều có độ dài bằng nhau.

2. **Xét tính đối xứng của hình**:
- Từ vì NN = NI, nên ND = NI (theo đề bài).
- Xét tam giác INM: nó là tam giác vuông tại I, và IM = IN.

3. **Tính độ dài**:
- Từ điểm I, vẽ IM và IN vuông góc với AB và AC tương ứng.
- Ta có \( AI = AI \), \( CI = CI \), và từ tính đối xứng nói trên, đủ điều kiện cho bốn cạnh AD, DC, CI và IA đều có độ dài bằng nhau.

4. **Kết luận**:
- Do đó, tứ giác ADCI là hình thoi, với các cạnh bằng nhau.

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh được rằng tứ giác AMIN là hình chữ nhật và tứ giác ADCI là hình thoi, từ đó hoàn thành bài toán yêu cầu.