Để chứng minh các phần của bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện từ A đến G như sau:

### A) Chứng minh tam giác AMB bằng tam giác AMC.

- M là trung điểm của BC. Do đó, BM = MC (1).
- AD = AE (theo đề bài). (2)
- AB = AC (do tam giác ABC là tam giác cân tại A).

Từ (1), (2) và việc có chung cạnh AM, ta có:
- AM = AM
- BM = MC
- AD = AE

Từ đó, theo tiêu chuẩn chứng minh tam giác bằng (cạnh – cạnh – cạnh) ta có:
\[ \triangle AMB \cong \triangle AMC \]

### B) Chứng minh AB vuông góc BC.

Do tam giác ABC cân tại A, điểm M là trung điểm của BC, ta có AM là đường cao của tam giác ABC. Do đó, AB vuông góc với BC.

### C) Chứng minh tam giác AMB bằng tam giác ABD.

Ta có dãy cặp đỉnh như sau:
- AB = AB (cạnh chung)
- AM = AM (cạnh chung)
- BM = MC (M là trung điểm của BC, do đó BM = MC)

Từ đó, theo tiêu chuẩn chứng minh tam giác bằng (cạnh – cạnh – cạnh) ta có:
\[ \triangle AMB \cong \triangle ABD \]

### D) Xác nhận lại AB vuông góc BC.

Như đã chứng minh ở phần B, AB vuông góc với BC.

### E) Chứng minh tam giác AEB bằng tam giác ADC.

Do AD = AE (theo đề bài), và theo bất đẳng thức tam giác:
- CD = BD (D là trung điểm của DE)
- AC = AB (A là đỉnh của tam giác cân)

Từ đó, ta có:
- AE = AD
- AB = AC
- Đường cao AM chung.

Áp dụng tiêu chuẩn cạnh-cạnh-cạnh:
\[ \triangle AEB \cong \triangle ADC \]

### F) Trên tia đối của BC lấy P và trên tia đối của CB lấy Q sao cho MP = MQ.

Vì M là trung điểm của BC và MP = MQ, ta có rằng P và Q sẽ đối xứng qua M.

### G) Chứng minh tam giác ACP bằng tam giác ABQ.

Dễ dàng thấy rằng:
- AC = AB (bởi A là đỉnh của tam giác cân)
- AM chung (cạnh chung)
- MP = MQ (theo phần F vừa chứng minh).

Áp dụng tiêu chuẩn cộng:
\[ \triangle ACP \cong \triangle ABQ \]

Tóm lại, ta đã chứng minh các phần dựa trên các tính chất của hình học cơ bản và cách thiết lập quan hệ đối xứng trong hình.