Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn CD, đáy AB. Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc SA và MC sao cho SM = 2 MA, SN =1/2NC. Tìm giao tuyến của BMN với tất cả các mặt của hình chóp

Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng phần một:

### Phần a: Tìm giao tuyến của BMN với tất cả các mặt của hình chóp

1. **Xác định vị trí của các điểm M và N:**

- Gọi \( S \) là đỉnh chóp, \( A, B, C, D \) là các đỉnh của hình thang (với \( CD \) là đáy lớn và \( AB \) là đáy nhỏ).
- Giả sử \( S \) có tọa độ \( (0, 0, h) \), và các điểm còn lại tọa độ lần lượt là:
- \( A(a_1, b_1, 0) \)
- \( B(a_2, b_2, 0) \)
- \( C(c_1, d_1, 0) \)
- \( D(c_2, d_2, 0) \)

- Điểm \( M \) thuộc SA được xác định bởi tỷ lệ \( SM = 2MA \), từ đó suy ra:
\[
SM = 2MA \iff \frac{SM}{MA} = 2 \Longrightarrow SM = 2x, MA = x \Longrightarrow SA = 3x
\]
Như vậy, tỷ lệ trên cho biết vị trí của \( M \) là \( M = \frac{2}{3}S + \frac{1}{3}A \).

- Điểm \( N \) thuộc MC được xác định bởi tỷ lệ \( SN = \frac{1}{2}NC \):
\[
SN = \frac{1}{2}NC \iff \frac{SN}{NC} = \frac{1}{2} \Longrightarrow SN = y, NC = 2y
\]
Như vậy, tương tự, tỷ lệ này cho biết vị trí của \( N \) là \( N = \frac{1}{3}S + \frac{2}{3}C \).

2. **Tìm phương trình của mặt phẳng chứa BMN:**

- Lấy các tọa độ của \( B \), \( M \) và \( N \), tính được phương trình mặt phẳng \( BMN \).

3. **Giải hệ để tìm giao tuyến với các mặt phẳng chứa các tam giác của hình chóp (SAB, SBC, SCD, và ABD):**

- Cần thiết lập phương trình cho từng mặt phẳng tương ứng, rồi giải hệ để tìm giao điểm.

### Phần b: Tìm giao điểm của MN và SBD

1. **Tìm phương trình của đoạn thẳng MN:**

- Với \( M \) và \( N \) đã xác định, thiết lập phương trình đường thẳng nối \( M \) và \( N \).

2. **Tìm phương trình mặt phẳng SBD:**

- Sử dụng tọa độ của 3 điểm S, B, D, thiết lập phương trình mặt phẳng SBD.

3. **Giải hệ giữa đường thẳng MN và mặt phẳng SBD:**

- Khi có phương trình mặt phẳng SBD và phương trình đoạn thẳng MN, ta thay tọa độ của MN vào phương trình mặt phẳng SBD và giải để tìm giao điểm.

Cuối cùng, qua các phép toán trên, ta sẽ tìm được giao tuyến của BMN với tất cả các mặt và giao điểm của MN với mặt phẳng SBD. Mỗi bước cần phải có tính toán cẩn thận, bởi vì trong không gian 3 chiều khá phức tạp và cần chính xác trong hình học.