Để chứng minh các tính chất của tam giác \( ABC \) và tứ giác \( BCHK \), chúng ta sẽ sử dụng một số kiến thức cơ bản về hình học và tính chất của tam giác cân.

### a) Chứng minh tam giác \( AKH \) là tam giác cân

1. **Định nghĩa và tính chất của tam giác cân:** Tam giác \( ABC \) là tam giác cân tại \( A \) nên \( AB = AC \).

2. **Xét các đường cao:** Đường cao \( BH \) từ \( B \) tới cạnh \( AC \) và đường cao \( CK \) từ \( C \) tới cạnh \( AB \) sẽ cắt nhau tại điểm \( H \).

3. **Xét góc:** Tại \( A \):
- Điểm \( H \) là chân đường cao nên \( BH \perp AC \).
- Điểm \( K \) cũng là chân đường cao nên \( CK \perp AB \).

4. **Góc tại \( A \):** Vì \( BH \perp AC \) và \( CK \perp AB \), ta có:
\[
\angle BAH = \angle CAK
\]

5. **Tính chất cạnh:** Do tam giác \( ABC \) cân tại \( A \) nên \( \angle ABK = \angle ACK \).

6. **Kết luận:** Từ các góc này, ta thấy rằng:
\[
AB = AC \Rightarrow AH = AH
\]
Hay nói cách khác:
\[
AK = AH \Rightarrow AKH \text{ là tam giác cân.}
\]

### b) Chứng minh tứ giác \( BCHK \) là hình thang cân

1. **Đường cao và góc:** Như đã chứng minh trên, ta có:
- \( BH \perp AC \)
- \( CK \perp AB \)

2. **Góc tại điểm \( H \) và \( K \):**
- Ta có \( \angle HBC = \angle KCA \) (góc đối diện).
- Do đó \( \angle HBC + \angle HCK = 90^\circ \) và \( \angle KCA + \angle KBC = 90^\circ \).

3. **Góc đối đi nhau:**
- Do đó, \( \angle HBC = \angle KCA \implies BH || CK \).

4. **Kết luận:**
Tứng với 2 cặp góc đáy bằng nhau, tứ giác \( BCHK \) là hình thang cân.

### c) Gọi \( I \) là giao điểm của \( BH \) và \( CK \), chứng minh \( AI \) là trung trực của đoạn thẳng \( BC \)

1. **Xét đoạn thẳng \( BC \)**: Điểm \( I \) là giao điểm của hai đường cao, tức là \( BH \) và \( CK \).

2. **Đặc tính của \( AI \)**: Do \( AI \) là đường trung trực của đoạn thẳng \( BC \) nếu trong tam giác \( ABC \):
- \( IB = IC \).

3. **Chứng minh:**
- Vì \( BH \) và \( CK \) đều là đường cao từ các đỉnh \( B \) và \( C \) đến các cạnh đối diện \( AC \) và \( AB \),
- \( AI \) cắt đoạn \( BC \) tại \( I \) cũng đồng nghĩa với việc \( I \) là điểm trung gian về khoảng cách từ \( B \) đến \( C \).

### Kết thúc

Như vậy, qua các bước chứng minh, ta đã thu được các kết quả như mong muốn cho yêu cầu bài toán.