Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia BA lấy M sao cho BM = AB. Trên tia đối BC lấy N sao cho BN = BC. Chứng minh ACMN là hình bình hành

Để chứng minh rằng ACMN là hình bình hành và AKNE là hình bình hành, ta tiến hành như sau:

### Phần a: Chứng minh ACMN là hình bình hành

1. **Gọi các yếu tố**:
- Ta có tam giác \( ABC \) với các điểm \( A, B, C \).
- Điểm \( M \) nằm trên tia đối của tia \( BA \) sao cho \( BM = AB \).
- Điểm \( N \) nằm trên tia đối của tia \( BC \) sao cho \( BN = BC \).

2. **Xem xét các độ dài**:
- Theo định nghĩa, có:
\[
BM = AB \quad \text{và} \quad BN = BC.
\]
- Do đó, ta có:
\[
AM = AB + BM = AB + AB = 2AB,
\]
\[
CN = BC + BN = BC + BC = 2BC.
\]

3. **Sử dụng định nghĩa của hình bình hành**:
- Để chứng minh rằng \( ACMN \) là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai đoạn thẳng \( AC \) và \( MN \) song song và bằng nhau, và hai đoạn thẳng \( AM \) và \( CN \) cũng song song và bằng nhau.

4. **Chứng minh song song**:
- Từ việc xây dựng \( M \) và \( N \), ta có thể thấy rằng góc \( BMA = 180^\circ \) và góc \( BNC = 180^\circ \).
- Do đó, các đoạn thẳng \( AM \) và \( CN \) song song bởi vì chúng được tạo thành từ các đoạn thẳng nằm trên đường thẳng.

5. **Chứng minh độ dài**:
- Ta có:
\[
AM = AB + AB = 2AB,
\]
\[
CN = BC + BC = 2BC.
\]
- Nếu \( AB = BC \), thì \( AM = CN \).

6. **Kết luận**:
- Như vậy, \( ACMN \) là một hình bình hành khi \( AC \parallel MN \) và \( AM = CN \).

### Phần b: Chứng minh AKNE là hình bình hành

1. **Xác định các điểm**:
- \( K \) là trung điểm của \( AB \).
- \( E \) là trung điểm của \( MN \).

2. **Tính toán các độ dài**:
- Vì \( K \) là trung điểm của \( AB \), ta có \( AK = KB \).
- Vì \( E \) là trung điểm của \( MN \), ta có \( ME = EN \).

3. **Chứng minh hai cặp cạnh đối diện tương ứng nhiều hơn**:
- Ta biết rằng \( AM = CN \) từ phần a. Do đó, ta có:
\[
EK = AK = KB \quad \text{và} \quad EN = ME.
\]

4. **Chứng minh chiều dài**:
- Từ đó, ta có thể dễ dàng chứng minh rằng:
\[
AK = EN \quad \text{và} \quad KB = ME,
\]
- Như vậy, \( AK \parallel EN \) và \( KB \parallel ME \).

5. **Kết luận**:
- Do đó, \( AKNE \) là hình bình hành.

Như vậy, ta đã chứng minh được hai phần của bài toán: \( ACMN \) là hình bình hành và \( AKNE \) cũng là hình bình hành.