Để chứng minh rằng \(32^{2023} - 32^{2021}\) chia hết cho 31, trước hết ta có thể đưa biểu thức này về dạng đơn giản hơn.

\[
32^{2023} - 32^{2021} = 32^{2021} (32^2 - 1)
\]

Bây giờ, ta tính \(32^2 - 1\):

\[
32^2 = 1024 \Rightarrow 32^2 - 1 = 1024 - 1 = 1023
\]

Tiếp theo, ta cần kiểm tra xem \(32^{2021} (32^2 - 1) = 32^{2021} \times 1023\) có chia hết cho 31 hay không. Ta sẽ xem xét từng phần.

Đầu tiên, tính giá trị của \(32 \mod 31\):

\[
32 \equiv 1 \mod 31
\]

Do đó, ta có:

\[
32^{2021} \equiv 1^{2021} \equiv 1 \mod 31
\]

Tiếp theo, ta tính \(1023 \mod 31\):

\[
1023 \div 31 = 33 \quad \text{và dư} \, 1023 - 33 \times 31 = 1023 - 1023 = 0
\]

Vì vậy,

\[
1023 \equiv 0 \mod 31
\]

Kết hợp lại, chúng ta có:

\[
32^{2021} \times 1023 \equiv 1 \times 0 \equiv 0 \mod 31
\]

Do đó, \(32^{2023} - 32^{2021}\) chia hết cho 31.

Vậy ta đã chứng minh được rằng:

\[
32^{2023} - 32^{2021} \equiv 0 \mod 31
\]

Kết luận: \(32^{2023} - 32^{2021}\) chia hết cho 31.