Chúng ta sẽ phân tích từng câu để xác định đúng hay sai dựa trên điều kiện cho trước là \( a > 1 > b \).

1. **a.a - 1 > 0**:
- \( a.a - 1 = a^2 - 1 \).
- Vì \( a > 1 \), nên \( a^2 > 1 \) và do đó \( a^2 - 1 > 0 \).
- **Đúng**.

2. **b, a - b < 0**:
- Điều này có thể hiểu là \( b < 0 \) và \( a - b < 0 \).
- Tuy nhiên, từ điều kiện \( a > 1 > b \), ta có \( b \) có thể âm hoặc dương nhưng \( a - b \) sẽ phải lớn hơn 0 vì \( a > b \).
- Câu này có vẻ không qui định mà chỉ nói là \( b < 0 \), không thể kết luận chính xác.
- **Sai**.

3. **(a - 1)(b - 1) < 0**:
- Ta có \( a - 1 > 0 \) (vì \( a > 1 \)) và \( b - 1 < 0 \) (vì \( b < 1 \)).
- Tích của hai số trái dấu sẽ là âm.
- **Đúng**.

4. **a - 2b < -1**:
- Biến đổi biểu thức:
\[
a - 2b < -1 \Longleftrightarrow a < 2b - 1
\]
- Với \( a > 1 > b \), ta hãy thử xét điều này với một vài giá trị cụ thể:
- Giả sử \( a = 2 \) và \( b = 0 \):
\[
2 - 2(0) = 2 \quad (2 \not< -1)
\]
- Giả sử \( a = 1.5 \) và \( b = 0.5 \):
\[
1.5 - 2(0.5) = 0 \quad (0 \not< -1)
\]
- Qua những ví dụ này, ta thấy rằng biểu thức trên không đúng trong mọi trường hợp.
- **Sai**.

Tóm lại:
- a. **Đúng**
- b. **Sai**
- c. **Đúng**
- d. **Sai**