Tham khảo câu trả lời từ Trợ lý ảo Lazi Để giải bài toán trên, ta sẽ tiến hành từng phần một. ### a) Tìm số nguyên \( x, y \) biết: \[ 25 - y^2 = 8(x - 2024)^2 \] 1. **Chuyển đổi phương trình**: \[ 25 - y^2 = 8(x - 2024)^2 \] Sắp xếp lại ta có: \[ y^2 = 25 - 8(x - 2024)^2 \] 2. **Điều kiện cho \( y^2 \geq 0 \)**: \[ 25 - 8(x - 2024)^2 \geq 0 \] dẫn đến: \[ 8(x - 2024)^2 \leq 25 \] suy ra: \[ (x - 2024)^2 \leq \frac{25}{8} \] 3. **Giải bất phương trình**: \[ -\sqrt{\frac{25}{8}} \leq x - 2024 \leq \sqrt{\frac{25}{8}} \] hay: \[ 2024 - \sqrt{\frac{25}{8}} \leq x \leq 2024 + \sqrt{\frac{25}{8}} \] 4. **Tính toán giá trị của \(\sqrt{\frac{25}{8}}\)**: \[ \sqrt{\frac{25}{8}} = \frac{5}{\sqrt{8}} = \frac{5\sqrt{8}}{8} = \frac{5 \cdot 2\sqrt{2}}{8} = \frac{5\sqrt{2}}{4} \] xấp xỉ \( \approx 1.77 \). 5. **Giá trị của \( x \)**: \[ 2024 - 1.77 \leq x \leq 2024 + 1.77 \] \( x \) có thể nhận giá trị nguyên là \( 2023, 2024, 2025 \). 6. **Tính giá trị tương ứng của \( y \)**: - Với \( x = 2023 \): \[ y^2 = 25 - 8(2023 - 2024)^2 = 25 - 8(-1)^2 = 25 - 8 = 17 \quad \Rightarrow \quad y = \pm \sqrt{17} \text{ (không nguyên)} \] - Với \( x = 2024 \): \[ y^2 = 25 - 8(2024 - 2024)^2 = 25 - 0 = 25 \quad \Rightarrow \quad y = \pm 5 \text{ (có nghiệm)} \] - Với \( x = 2025 \): \[ y^2 = 25 - 8(2025 - 2024)^2 = 25 - 8(1)^2 = 25 - 8 = 17 \quad \Rightarrow \quad y = \pm \sqrt{17} \text{ (không nguyên)} \] ### Kết quả phần a: Nghiệm nguyên của phương trình là \( (x,y) = (2024, 5) \) và \( (2024, -5) \). ### b) Tìm hệ số \( a \) và \( b \) để đa thức: \[ f(x) = x^4 + ax^2 + b \text{ chia hết cho } g(x) = x^2 + x + 1 \] 1. **Xem xét \( g(x) \)**: Đa thức \( g(x) \) có hai nghiệm phức là \( \omega, \omega^2 \) với \( \omega = e^{2\pi i / 3} \) (căn bậc 3 của đơn vị). 2. **Để \( f(x) \) chia hết cho \( g(x) \)**: cần thỏa mãn \( f(\omega) = 0 \) và \( f(\omega^2) = 0 \). 3. **Tính \( f(\omega) \)**: \[ f(\omega) = \omega^4 + a\omega^2 + b \] Vì \( \omega^3 = 1 \) nên \( \omega^4 = \omega \): \[ f(\omega) = \omega + a\omega^2 + b = 0 \quad \text{(1)} \] 4. **Tính \( f(\omega^2) \)**: \[ f(\omega^2) = (\omega^2)^4 + a(\omega^2)^2 + b = \omega^2 + a\omega + b = 0 \quad \text{(2)} \] 5. **Giải hệ phương trình**: Từ (1) và (2), ta được 2 phương trình: \[ \begin{cases} \omega + a\omega^2 + b = 0 \\ \omega^2 + a\omega + b = 0 \end{cases} \] 6. **Trừ hai phương trình**: \[ (\omega - \omega^2) + (a\omega^2 - a\omega) = 0 \\ \Rightarrow (1 - a)(\omega - \omega^2) = 0 \] Nếu \( \omega \neq \omega^2 \), thì \( 1 - a = 0 \) hay \( a = 1 \). 7. **Thay vào một phương trình**: Thay \( a = 1 \) vào (1): \[ \omega + \omega^2 + b = 0 \Rightarrow b = -(\omega + \omega^2) = -(-1) = 1. \] ### Kết quả phần b: Hệ số là \( a = 1 \) và \( b = 1 \). Tóm lại, các nghiệm là: - Phần a: \( (x, y) = (2024, 5) \) và \( (2024, -5) \). - Phần b: \( a = 1 \), \( b = 1 \).