Để giải bài toán trên, ta sẽ tiến hành từng phần một.

### a) Tìm số nguyên \( x, y \) biết:
\[
25 - y^2 = 8(x - 2024)^2
\]

1. **Chuyển đổi phương trình**:
\[
25 - y^2 = 8(x - 2024)^2
\]
Sắp xếp lại ta có:
\[
y^2 = 25 - 8(x - 2024)^2
\]

2. **Điều kiện cho \( y^2 \geq 0 \)**:
\[
25 - 8(x - 2024)^2 \geq 0
\]
dẫn đến:
\[
8(x - 2024)^2 \leq 25
\]
suy ra:
\[
(x - 2024)^2 \leq \frac{25}{8}
\]

3. **Giải bất phương trình**:
\[
-\sqrt{\frac{25}{8}} \leq x - 2024 \leq \sqrt{\frac{25}{8}}
\]
hay:
\[
2024 - \sqrt{\frac{25}{8}} \leq x \leq 2024 + \sqrt{\frac{25}{8}}
\]

4. **Tính toán giá trị của \(\sqrt{\frac{25}{8}}\)**:
\[
\sqrt{\frac{25}{8}} = \frac{5}{\sqrt{8}} = \frac{5\sqrt{8}}{8} = \frac{5 \cdot 2\sqrt{2}}{8} = \frac{5\sqrt{2}}{4}
\]
xấp xỉ \( \approx 1.77 \).

5. **Giá trị của \( x \)**:
\[
2024 - 1.77 \leq x \leq 2024 + 1.77
\]
\( x \) có thể nhận giá trị nguyên là \( 2023, 2024, 2025 \).

6. **Tính giá trị tương ứng của \( y \)**:
- Với \( x = 2023 \):
\[
y^2 = 25 - 8(2023 - 2024)^2 = 25 - 8(-1)^2 = 25 - 8 = 17 \quad \Rightarrow \quad y = \pm \sqrt{17} \text{ (không nguyên)}
\]
- Với \( x = 2024 \):
\[
y^2 = 25 - 8(2024 - 2024)^2 = 25 - 0 = 25 \quad \Rightarrow \quad y = \pm 5 \text{ (có nghiệm)}
\]
- Với \( x = 2025 \):
\[
y^2 = 25 - 8(2025 - 2024)^2 = 25 - 8(1)^2 = 25 - 8 = 17 \quad \Rightarrow \quad y = \pm \sqrt{17} \text{ (không nguyên)}
\]

### Kết quả phần a:
Nghiệm nguyên của phương trình là \( (x,y) = (2024, 5) \) và \( (2024, -5) \).

### b) Tìm hệ số \( a \) và \( b \) để đa thức:
\[
f(x) = x^4 + ax^2 + b \text{ chia hết cho } g(x) = x^2 + x + 1
\]

1. **Xem xét \( g(x) \)**:
Đa thức \( g(x) \) có hai nghiệm phức là \( \omega, \omega^2 \) với \( \omega = e^{2\pi i / 3} \) (căn bậc 3 của đơn vị).

2. **Để \( f(x) \) chia hết cho \( g(x) \)**:
cần thỏa mãn \( f(\omega) = 0 \) và \( f(\omega^2) = 0 \).

3. **Tính \( f(\omega) \)**:
\[
f(\omega) = \omega^4 + a\omega^2 + b
\]
Vì \( \omega^3 = 1 \) nên \( \omega^4 = \omega \):
\[
f(\omega) = \omega + a\omega^2 + b = 0 \quad \text{(1)}
\]

4. **Tính \( f(\omega^2) \)**:
\[
f(\omega^2) = (\omega^2)^4 + a(\omega^2)^2 + b = \omega^2 + a\omega + b = 0 \quad \text{(2)}
\]

5. **Giải hệ phương trình**:
Từ (1) và (2), ta được 2 phương trình:
\[
\begin{cases}
\omega + a\omega^2 + b = 0 \\
\omega^2 + a\omega + b = 0
\end{cases}
\]

6. **Trừ hai phương trình**:
\[
(\omega - \omega^2) + (a\omega^2 - a\omega) = 0 \\
\Rightarrow (1 - a)(\omega - \omega^2) = 0
\]
Nếu \( \omega \neq \omega^2 \), thì \( 1 - a = 0 \) hay \( a = 1 \).

7. **Thay vào một phương trình**:
Thay \( a = 1 \) vào (1):
\[
\omega + \omega^2 + b = 0 \Rightarrow b = -(\omega + \omega^2) = -(-1) = 1.
\]

### Kết quả phần b:
Hệ số là \( a = 1 \) và \( b = 1 \).

Tóm lại, các nghiệm là:
- Phần a: \( (x, y) = (2024, 5) \) và \( (2024, -5) \).
- Phần b: \( a = 1 \), \( b = 1 \).