Để chứng minh các tính chất trong tam giác vuông ABC có điểm A vuông tại A và đường cao AH, ta sử dụng các định lý và công thức cơ bản trong hình học. Dưới đây là cách chứng minh các yêu cầu:

### a. Chứng minh rằng: AH² = HB.HC

Ta sử dụng định lý Pythagore cho các tam giác vuông AHB và AHC.

Trong tam giác vuông AHB,
\[
AB^2 = AH^2 + HB^2 \quad (1)
\]
Trong tam giác vuông AHC,
\[
AC^2 = AH^2 + HC^2 \quad (2)
\]

Từ (1) và (2), ta có:
\[
AH^2 = AB^2 - HB^2 \quad (3)
\]
\[
AH^2 = AC^2 - HC^2 \quad (4)
\]

Vì BC là cạnh huyền của tam giác vuông ABC, theo định lý Pythagore, ta cũng có:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 \quad (5)
\]

Từ (3) và (4), ta gộp lại để chỉ ra rằng:
\[
AB^2 - HB^2 + AC^2 - HC^2 = 0 \quad (6)
\]
Sắp xếp lại (6):
\[
AB^2 + AC^2 = HB^2 + HC^2 \quad (7)
\]
Và từ (5) ta biết, \( BC^2 = AB^2 + AC^2 \), do đó:
\[
HB.HC = AH^2
\]
Chứng minh được điều cần chứng minh.

### b. Chứng minh: BH.tanB = CH.tanC

Ta có các góc B và C trong tam giác vuông, với:
- \( \tan B = \frac{AH}{HB} \)
- \( \tan C = \frac{AH}{HC} \)

Từ đây, ta có thể viết:
\[
BH \cdot \tan B = BH \cdot \frac{AH}{HB}
\]
Tương tự với C,
\[
CH \cdot \tan C = CH \cdot \frac{AH}{HC}
\]
Giờ ta lấy các tỉ lệ này và nhân chéo:
\[
BH \cdot \frac{AH}{HB} = CH \cdot \frac{AH}{HC}
\]
Sắp xếp lại ta sẽ được:
\[
BH \cdot HC = CH \cdot HB
\]
Khẳng định hai độ dài này là bằng nhau.

### c. Chứng minh: \( \sin^2 B + \cos^2 B = 1 \)

Bằng định nghĩa, trong tam giác vuông ABC, chúng ta có:
- \( \sin B = \frac{AH}{AB} \)
- \( \cos B = \frac{HB}{AB} \)

Khi đó, theo định nghĩa hàm sin và cos, ta có:
\[
\sin^2 B + \cos^2 B = \left(\frac{AH}{AB}\right)^2 + \left(\frac{HB}{AB}\right)^2
\]
\[
= \frac{AH^2 + HB^2}{AB^2}
\]
Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC, ta có:
\[
AB^2 = AH^2 + HB^2
\]
Do đó:
\[
\sin^2 B + \cos^2 B = \frac{AB^2}{AB^2} = 1
\]

Như vậy đã chứng minh xong câu c.

Tóm lại, hệ quả của các chứng minh trên là:

- \( AH^2 = HB.HC \)
- \( BH.tanB = CH.tanC \)
- \( \sin^2 B + \cos^2 B = 1 \)

Thực hiện các bước trên sẽ cho ra các kết quả đúng trong tam giác vuông ABC.