Để tìm các số \( x, y \in \mathbb{N}^* \) sao cho \( x^4 + 4y^4 \) là số nguyên tố, ta có thể sử dụng một số kiến thức về lý thuyết số và tính chất của số nguyên tố.

Ta biết rằng \( x^4 + 4y^4 \) có thể được viết lại bằng công thức:

\[
x^4 + 4y^4 = (x^2 - 2y^2)^2 + (2xy)^2
\]

đây là một biểu thức có dạng tổng bình phương. Tuy nhiên, để các giá trị \( x^4 + 4y^4 \) là số nguyên tố, ta chú ý đến một số trường hợp cụ thể.

1. **Trường hợp \( y = 1 \)**:
- Ta có \( x^4 + 4 \).
- Kiểm tra cho các giá trị \( x \):
- \( x = 1 \): \( 1^4 + 4 = 5\) (nguyên tố)
- \( x = 2 \): \( 2^4 + 4 = 20\) (không nguyên tố)
- \( x = 3 \): \( 3^4 + 4 = 85\) (không nguyên tố)
- \( x = 4 \): \( 4^4 + 4 = 260\) (không nguyên tố)
- ...

2. **Trường hợp \( y = 2 \)**:
- Ta có \( x^4 + 64 \).
- Kiểm tra cho các giá trị \( x \):
- \( x = 1 \): \( 1^4 + 64 = 65\) (không nguyên tố)
- \( x = 2 \): \( 2^4 + 64 = 80\) (không nguyên tố)
- \( x = 3 \): \( 3^4 + 64 = 145\) (không nguyên tố)
- ...

Khi thử nghiệm với các giá trị \( y \) lớn hơn, kết quả có xu hướng cho thấy rằng chỉ một vài giá trị \( x \) và \( y \) nhỏ sẽ cho kết quả là số nguyên tố.

Từ kết quả kiểm tra trên, ta có thể thấy rằng chỉ có cặp \( (1, 1) \) cho \( x^4 + 4y^4 = 5 \) là số nguyên tố.

### Kết luận:
Cặp duy nhất \( (x, y) \) thỏa mãn điều kiện là \( (1, 1) \).