Cho tam giác nhọn \( ABC \), \( M \) là trung điểm của \( BC \). Đường vuông góc với \( AB \) tại \( B \) cắt đường thẳng \( AM \) tại \( D \). Trên tia \( MA \) lấy điểm \( E \) sao cho \( ME = MD \). \( EC \) cắt \( AB \) tại \( K \)

Để chứng minh được hai mệnh đề \( a \) và \( b \) trong bài toán đã cho, ta sẽ sử dụng một số tính chất về tam giác, đường thẳng, và góc.

### Mệnh đề a: \(\Delta EMC = \Delta DMB\)

1. **Xét các điểm:**
- \( M \) là trung điểm của \( BC \) nên \( MB = MC \).
- Đường vuông góc với \( AB \) tại \( B \) cắt \( AM \) tại \( D \), suy ra \(\angle DMB = 90^\circ\).

2. **Giữa các góc:**
- Ta có các góc \(\angle EMC = \angle DMB\) (góc vuông) và \( MB = MC \).
- Do đó, ta có \(\Delta DMB\) và \(\Delta EMC\) có hai cạnh tương ứng bằng nhau và chứa một góc vuông.

3. **Kết luận:**
- Theo tiêu chuẩn cạnh-góc-cạnh (CGC), ta có \(\Delta EMC \cong \Delta DMB\).

### Mệnh đề b: \(\Delta AKE\) vuông tại \( K \)

1. **Xét thao tác:**
- Từ \( E \) đến \( C \), ta có đường thẳng \( EC \) cắt \( AB \) tại điểm \( K \).
- Theo định nghĩa, điểm \( D \) nằm trên đường thẳng \( AM \) vuông góc tại \( B \).

2. **Xét các tam giác:**
- Do \( ME = MD \) và \( D \) nằm trên đường thẳng vuông góc với \( AB \) tại \( B \), nên \( MD \) vuông góc với \( AB \).
- Vậy \( K \) là điểm nằm trên \( AB \) mà từ đó vẽ xuống một đường thẳng tới \( EC \) sẽ vuông góc.

3. **Kết luận:**
- Suy ra, \(\Delta AKE\) vuông tại \( K \) bởi vì \( K \) là giao điểm của một đường thẳng vuông góc từ \( M \) đến \( AB \).

Như vậy, ta đã chứng minh được cả hai mệnh đề a và b như yêu cầu.