Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị \( m \) sao cho hệ phương trình:

1. \( x + my = 2 \) (1)
2. \( mx - 2y = 1 \) (2)

có nghiệm \( (x, y) \) thỏa mãn điều kiện \( x > 0 \) và \( y < 0 \).

**Bước 1: Chuyển đổi hệ phương trình.**

Từ phương trình (1), ta có:

\[
x = 2 - my \tag{3}
\]

Thay \( x \) từ (3) vào phương trình (2):

\[
m(2 - my) - 2y = 1
\]

Rút gọn phương trình trên, ta được:

\[
2m - m^2 y - 2y = 1
\]

\[
2m - 1 = (m^2 + 2)y \tag{4}
\]

Từ phương trình (4), ta có:

\[
y = \frac{2m - 1}{m^2 + 2} \tag{5}
\]

**Bước 2: Điều kiện cho y < 0.**

Để \( y < 0 \), điều kiện là:

\[
2m - 1 < 0 \quad \text{và} \quad m^2 + 2 > 0
\]

Phương trình \( m^2 + 2 > 0 \) luôn đúng với mọi \( m \).

Giải bất phương trình \( 2m - 1 < 0 \):

\[
2m < 1 \quad \Rightarrow \quad m < \frac{1}{2}
\]

**Bước 3: Tìm điều kiện cho x > 0.**

Từ phương trình (3), với \( y \) được tính từ (5):

Ta thay giá trị của \( y \) vào (3):

\[
x = 2 - m \cdot \frac{2m - 1}{m^2 + 2}
\]

Tính \( x \):

\[
x = 2 - \frac{m(2m - 1)}{m^2 + 2} = 2 - \frac{2m^2 - m}{m^2 + 2}
\]

Để \( x > 0 \):

\[
2 - \frac{2m^2 - m}{m^2 + 2} > 0
\]

Giải bất phương trình:

\[
2(m^2 + 2) - (2m^2 - m) > 0
\]
\[
2m^2 + 4 - 2m^2 + m > 0
\]
\[
m + 4 > 0 \quad \Rightarrow \quad m > -4
\]

**Bước 4: Tổng hợp điều kiện.**

Ta cần tìm \( m \) thỏa mãn:

1. \( m < \frac{1}{2} \)
2. \( m > -4 \)

Kết hợp các điều kiện, ta có:

\[
-4 < m < \frac{1}{2}
\]

Vậy, \( m \) có thể nhận các giá trị trong khoảng \( (-4, \frac{1}{2}) \).