Cho biểu thức A

Để rút gọn biểu thức \( A \), ta có:

\[
A = \frac{x + 2}{\sqrt{x - 1}} + \frac{\sqrt{x + 1}}{x + \sqrt{x + 1}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \quad (x \geq 0, x \neq 1)
\]

### a) Rút gọn biểu thức A

1. **Phân tích từng phần**:
- Phần đầu tiên: \(\frac{x + 2}{\sqrt{x - 1}}\).
- Phần thứ hai: \(\frac{\sqrt{x + 1}}{x + \sqrt{x + 1}}\).
- Phần thứ ba: \(\frac{1}{\sqrt{x} - 1}\).

2. **Chuyển đổi phần đầu tiên**:
\(\frac{x + 2}{\sqrt{x - 1}} = \frac{(x - 1) + 3}{\sqrt{x - 1}} = \sqrt{x - 1} + \frac{3}{\sqrt{x - 1}}\).

3. **Giải quyết phần thứ hai**:
\[
\frac{\sqrt{x + 1}}{x + \sqrt{x + 1}} = \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x})} = \frac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}.
\]

4. **Chuyển đổi phần thứ ba**:
\[
\frac{1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 1}.
\]

### Kết hợp lại:

Biểu thức \( A \) sẽ trở thành sự kết hợp của ba phần rút gọn trên. Bạn có thể thay thế và thực hiện phép cộng các phần tử lại với nhau.

### b) So sánh A với \(\frac{1}{3}\)

Sau khi đã có biểu thức rút gọn, bạn có thể lấy giá trị cụ thể của \( x \) để so sánh với \(\frac{1}{3}\) thông qua việc tính giá trị của \( A \) cho một số giá trị của \( x \) (ví dụ: \( x = 4, 2, 9 \),...) để xem khi nào \( A > \frac{1}{3} \) và khi nào \( A < \frac{1}{3} \).

Tiếp tục thực hiện phân tích và tính toán cho từng miền giá trị của \( x \) để đưa ra kết luận chính xác nhất về so sánh này.