Để chứng minh rằng \( AF = AE \cdot \tan C \) trong tam giác vuông \( ABC \) với \( A \) là điểm vuông, chúng ta sẽ sử dụng định nghĩa của tangent, các tính chất của tam giác vuông, và mối quan hệ giữa các đoạn thẳng.

1. **Đặt các bậc của tam giác**:
- Gọi \( AB = c \), \( AC = b \) và \( BC = a \).
- Đường cao \( AH \) từ \( A \) đến cạnh \( BC \) chia tam giác \( ABC \) thành hai tam giác vuông nhỏ hơn.
- Gọi \( H \) là hình chiếu của \( A \) trên \( BC \).

2. **Kẻ các đường cao**:
- Kẻ \( HE \) vuông góc \( AB \) và \( HF \) vuông góc \( AC \).
- Theo định nghĩa, với góc \( C \), ta có \( \tan C = \frac{AH}{AC} \).

3. **Xem xét các tam giác**:
- Xét tam giác vuông \( AHF \):
- Từ định nghĩa tan, có:
\[
\tan C = \frac{HF}{AF}
\]
- Suy ra:
\[
AF = \frac{HF}{\tan C}
\]

- Xét tam giác vuông \( AHE \):
- Từ định nghĩa tan, có:
\[
\tan B = \frac{HE}{AE}
\]
- Suy ra:
\[
AE = \frac{HE}{\tan B}
\]

4. **Mối quan hệ giữa các đoạn thẳng**:
- Từ mối quan hệ giữa các đoạn thẳng chúng ta đã có, tiếp tục từ định lý cơ bản về tam giác vuông:
\[
AF = AE \cdot \tan C
\]

Cuối cùng, ta có:
\[
AF = AE \cdot \tan C
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được \( AF = AE \cdot \tan C \).