Để tìm ước chung lớn nhất (UCLN) của 175, 350 và 420 bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố, ta thực hiện như sau:

**Bước 1: Phân tích ra thừa số nguyên tố.**

1. **175**:
- 175 = 5 × 35
- 35 = 5 × 7
- Vậy 175 = \( 5^2 \times 7^1 \)

2. **350**:
- 350 = 5 × 70
- 70 = 5 × 14
- 14 = 2 × 7
- Vậy 350 = \( 5^2 \times 2^1 \times 7^1 \)

3. **420**:
- 420 = 42 × 10
- 42 = 6 × 7
- 6 = 2 × 3
- 10 = 2 × 5
- Vậy 420 = \( 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \times 7^1 \)

**Bước 2: Lập bảng phân tích thừa số nguyên tố.**

- 175 = \( 5^2 \times 7^1 \)
- 350 = \( 5^2 \times 2^1 \times 7^1 \)
- 420 = \( 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \times 7^1 \)

**Bước 3: Tìm UCLN.**

- Lấy các số mũ nhỏ nhất của mỗi thừa số nguyên tố trong các phân tích trên:
- Với số 2: \( \min(0, 1, 2) = 0 \) → không có thừa số 2 trong UCLN.
- Với số 3: \( \min(0, 0, 1) = 0 \) → không có thừa số 3 trong UCLN.
- Với số 5: \( \min(2, 2, 1) = 1 \)
- Với số 7: \( \min(1, 1, 1) = 1 \)

**Bước 4: Kết luận UCLN.**

- Vậy UCLN(175, 350, 420) = \( 5^1 \times 7^1 = 5 \times 7 = 35 \).

**Kết quả: UCLN(175, 350, 420) = 35.**