Để chứng minh rằng hai số \( 2n - 1 \) và \( 5n + 2 \) nguyên tố cùng nhau, nghĩa là ước số chung lớn nhất (ƯSCLN) của chúng là 1, ta có thể sử dụng định lý Euclide.

Ta sẽ sử dụng thuật toán Euclide để tính ƯSCLN. Đầu tiên, đặt:

\[
a = 2n - 1
\]
\[
b = 5n + 2
\]

Ta sẽ tính ƯSCLN của \( a \) và \( b \):

\[
\gcd(a, b) = \gcd(2n - 1, 5n + 2)
\]

Theo định lý Euclide, ta có thể tính ƯSCLN bằng cách:

\[
\gcd(a, b) = \gcd(a, b - k \cdot a)
\]

Với \( k \) là số nguyên. Ta có thể chọn \( k = 2 \):

\[
b - 2a = (5n + 2) - 2(2n - 1) = 5n + 2 - 4n + 2 = n + 4
\]

Sau khi tính toán, ta có:

\[
\gcd(2n - 1, 5n + 2) = \gcd(2n - 1, n + 4)
\]

Tiếp tục áp dụng định lý Euclide:

\[
\gcd(2n - 1, n + 4) = \gcd(2n - 1 - 2(n + 4), n + 4)
\]
\[
= \gcd(2n - 1 - 2n - 8, n + 4) = \gcd(-9, n + 4)
\]

Từ đây, ta thấy rằng ƯSCLN giữa \(-9\) và \(n + 4\) phụ thuộc vào giá trị của \(n\).

Vì \(9\) và \(n + 4\) có thể có ước số chung tùy thuộc vào giá trị của \(n\), nhưng vì \(n\) là một số nguyên bất kỳ, ta cần xem xét các trường hợp cụ thể cho \(n\):

1. Khi \(n\) là chẵn.
2. Khi \(n\) là lẻ.

Mỗi trường hợp có thể đưa đến một kết luận khác nhau. Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát, \(9\) và \(n + 4\) chỉ chung 1 khi \(n + 4\) không phải là bội số của \(3\).

Do đó, không thể khẳng định rằng hai số này luôn nguyên tố cùng nhau trong mọi trường hợp \(n\). Để kết luận chính xác, ta cần có giả thiết cụ thể về \(n\) (hay \(n\) không chia hết cho \(3\) chẳng hạn) để chắc chắn rằng \( \gcd(2n - 1, 5n + 2) = 1\).

Trong nhiều trường hợp, ta có thể thấy rằng \(2n - 1\) và \(5n + 2\) là nguyên tố cùng nhau, nhưng không phải trong tất cả mọi trường hợp \(n\).