Để rút gọn biểu thức \( A \), chúng ta sẽ tiến hành chuyển đổi và rút gọn từng phần trong biểu thức.

Biểu thức ban đầu là:

\[
A = \left( \frac{1 + a + \sqrt{a}}{\sqrt{a + 1}} \right)\left( \frac{1 - a - \sqrt{a}}{\sqrt{a - 1}} \right)
\]

### Bước 1: Nhân các phần tử

Ta thực hiện nhân hai phân số:

\[
A = \frac{(1 + a + \sqrt{a})(1 - a - \sqrt{a})}{\sqrt{(a + 1)(a - 1)}}
\]

### Bước 2: Rút gọn tử

Tính tử:

\[
(1 + a + \sqrt{a})(1 - a - \sqrt{a}) = 1 - a - \sqrt{a} + a - a^2 - a\sqrt{a} + \sqrt{a} - a\sqrt{a} - a
\]

Sau khi rút gọn, ta có:

\[
= 1 - a^2 - 2\sqrt{a} \text{ (gộp các hạng tử liên quan)}
\]

### Bước 3: Rút gọn mẫu

Mẫu:

\[
\sqrt{(a + 1)(a - 1)} = \sqrt{a^2 - 1}
\]

### Bước 4: Biểu thức hoàn chỉnh

Do đó, biểu thức \( A \) sẽ trở thành:

\[
A = \frac{1 - a^2 - 2\sqrt{a}}{\sqrt{a^2 - 1}}
\]

### Bước 5: Rút gọn tổng thể

Nếu \( a = 1 \), phân số sẽ không xác định. Khi \( a > 0 \) và \( a \neq 1 \), ta có thể tiếp tục rút gọn hoặc thêm điều kiện cho từng trường hợp cụ thể.

### Kết luận

Cuối cùng, chúng ta có:

\[
A = \frac{1 - a^2 - 2\sqrt{a}}{\sqrt{a^2 - 1}} \quad \text{(với điều kiện } a \geq 0, a \neq 1\text{)}
\]

Đây là dạng rút gọn của biểu thức ban đầu.