Để tính độ dài các vector trong tứ diện đều \(ABCD\) với cạnh \(a\), và các điểm \(O\) (trọng tâm tam giác \(BCD\)), \(M\) (trung điểm \(CD\)), chúng ta có thể làm theo các bước sau:

### a) Tính \(|\overrightarrow{OA}|\)

1. **Xác định tọa độ các điểm:**
- Cho điểm A tại tọa độ \((0, 0, \sqrt{\frac{2}{3}}a)\).
- Điểm B tại \((-\frac{a}{2}, -\frac{a \sqrt{3}}{6}, 0)\).
- Điểm C tại \((\frac{a}{2}, -\frac{a \sqrt{3}}{6}, 0)\).
- Điểm D tại \((0, \frac{a \sqrt{3}}{3}, 0)\).

2. **Tính tọa độ trọng tâm O và trung điểm M:**
- Tọa độ trọng tâm \(O\) của tam giác \(BCD\) là:
\[
O = \left(\frac{-\frac{a}{2} + \frac{a}{2} + 0}{3}, \frac{-\frac{a \sqrt{3}}{6} -\frac{a \sqrt{3}}{6} + \frac{a \sqrt{3}}{3}}{3}, 0\right) = \left(0, 0, 0\right).
\]
- Tọa độ trung điểm \(M\) của đoạn \(CD\) là:
\[
M = \left(\frac{\frac{a}{2} + 0}{2}, \frac{-\frac{a \sqrt{3}}{6} + \frac{a \sqrt{3}}{3}}{2}, 0\right) = \left(\frac{a}{4}, \frac{-a \sqrt{3}}{12}, 0 \right).
\]

3. **Tính độ dài \(|\overrightarrow{OA}|\):**
\[
\overrightarrow{OA} = A - O = \left(0, 0, \sqrt{\frac{2}{3}}a\right) - (0, 0, 0) = \left(0, 0, \sqrt{\frac{2}{3}}a\right).
\]
\[
|\overrightarrow{OA}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + \left(\sqrt{\frac{2}{3}}a\right)^2} = \sqrt{\frac{2}{3}}a.
\]

### b) Tính \(|\overrightarrow{OA} - 2\overrightarrow{OM}|\)

1. **Tính \(\overrightarrow{OM}\):**
\[
\overrightarrow{OM} = M - O = \left(\frac{a}{4}, \frac{-a \sqrt{3}}{12}, 0\right) - (0, 0, 0) = \left(\frac{a}{4}, \frac{-a \sqrt{3}}{12}, 0\right).
\]

2. **Tính \(2\overrightarrow{OM}\):**
\[
2\overrightarrow{OM} = 2 \left(\frac{a}{4}, \frac{-a \sqrt{3}}{12}, 0\right) = \left(\frac{a}{2}, -\frac{a \sqrt{3}}{6}, 0\right).
\]

3. **Tính \(|\overrightarrow{OA} - 2\overrightarrow{OM}|\):**
\[
\overrightarrow{OA} - 2\overrightarrow{OM} = \left(0, 0, \sqrt{\frac{2}{3}}a\right) - \left(\frac{a}{2}, -\frac{a \sqrt{3}}{6}, 0\right) = \left(-\frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{6}, \sqrt{\frac{2}{3}}a\right).
\]
\[
|\overrightarrow{OA} - 2\overrightarrow{OM}| = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a \sqrt{3}}{6}\right)^2 + \left(\sqrt{\frac{2}{3}}a\right)^2}.
\]

### c) Tính \(2|\overrightarrow{MO} - \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD}|\)

1. **Tính các vector:**
\[
\overrightarrow{AC} = C - A = \left(\frac{a}{2}, -\frac{a \sqrt{3}}{6}, 0\right) - \left(0, 0, \sqrt{\frac{2}{3}}a\right) = \left(\frac{a}{2}, -\frac{a \sqrt{3}}{6}, -\sqrt{\frac{2}{3}}a\right),
\]
\[
\overrightarrow{AD} = D - A = \left(0, \frac{a \sqrt{3}}{3}, 0\right) - \left(0, 0, \sqrt{\frac{2}{3}}a\right) = \left(0, \frac{a \sqrt{3}}{3}, -\sqrt{\frac{2}{3}}a\right).
\]

2. **Tính \(\overrightarrow{MO}\):**
\[
\overrightarrow{MO} = O - M = (0, 0, 0) - \left(\frac{a}{4}, \frac{-a \sqrt{3}}{12}, 0\right) = \left(-\frac{a}{4}, \frac{a \sqrt{3}}{12}, 0\right).
\]

3. **Tính \(|\overrightarrow{MO} - \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD}|\):**
\[
\overrightarrow{MO} - \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \left(-\frac{a}{4}, \frac{a \sqrt{3}}{12}, 0\right) - \left(\frac{a}{2}, -\frac{a \sqrt{3}}{6}, -\sqrt{\frac{2}{3}}a\right) - \left(0, \frac{a \sqrt{3}}{3}, -\sqrt{\frac{2}{3}}a\right).
\]
Cuối cùng tính độ dài và nhân với 2.

### Kết luận
Các phép tính trên sẽ cho ra các độ dài vector cần thiết.