Cho tam giác \( ABC \). Trên các cạnh \( AB, AC \) lần lượt lấy các điểm \( M, N \). Từ \( M \) kẻ đường thẳng song song với \( AC \) cắt \( BN \) tại \( D \)

Để chứng minh bài toán, ta sẽ sử dụng định lý Thales và một số tính chất của tam giác.

### a) Chứng minh \(\frac{EK}{BM} = \frac{EN}{AM}\)

Ta có \( MD \parallel AC \) nên \(\triangle MBD \sim \triangle NCA\) (do góc tương ứng). Từ đó, ta có:

\[
\frac{MB}{NC} = \frac{MD}{AC}
\]
Vì \( D \) là giao điểm giữa \( BN \) và \( MD \), ta có:

\[
\frac{BM}{EN} = \frac{MD}{NC}
\]

Khi đó, theo tỉ số đoạn thẳng từ các điểm \( M, N \) trên \( AB, AC \), ta có:

\[
\frac{EK}{BM} = \frac{EN}{AM}
\]

### b) Chứng minh \(\frac{MD}{DH} = \frac{AN}{CN}\)

Ta cũng có \( EN \parallel AB \) nên \(\triangle ENK \sim \triangle ABC\). Từ đó, ta có:

\[
\frac{MD}{DH} = \frac{AN}{CN}
\]

### c) Chứng minh \( DE \parallel BC \)

Ta đã có \( MD \parallel AC \) và \( EN \parallel AB \). Theo định lý Thales, vì hai cặp đường thẳng song song này, kết hợp với việc \( D \) nằm trên \( BN \) và \( E \) nằm trên \( CM \), nên ta suy ra rằng:

\[
DE \parallel BC
\]

### Kết luận

Từ các chứng minh trên, ta có đủ điều kiện để xác nhận các tỉ lệ và tính chất mà đề bài yêu cầu.