Để tìm số nguyên tố \( p \) sao cho các biểu thức \( 2p^2 + 1 \) và \( 4p^2 + 1 \), \( 6p^2 + 1 \) đều là số nguyên tố, chúng ta sẽ xem xét từng trường hợp.

### a) Tìm \( p \) để \( 2p^2 + 1 \) là số nguyên tố.

1. **Thử với các giá trị nguyên tố \( p \):**
- \( p = 2: 2 \times 2^2 + 1 = 8 + 1 = 9 \) (không phải số nguyên tố)
- \( p = 3: 2 \times 3^2 + 1 = 18 + 1 = 19 \) (số nguyên tố)
- \( p = 5: 2 \times 5^2 + 1 = 50 + 1 = 51 \) (không phải số nguyên tố)
- \( p = 7: 2 \times 7^2 + 1 = 98 + 1 = 99 \) (không phải số nguyên tố)
- Tiếp tục kiểm tra cho các số nguyên tố khác.

Kết luận: \( p = 3 \) là số nguyên tố khiến \( 2p^2 + 1 \) là số nguyên tố.

### b) Tìm \( p \) để \( 4p^2 + 1 \) và \( 6p^2 + 1 \) đều là số nguyên tố.

1. **Kiểm tra các giá trị nguyên tố:**
- \( p = 2: 4 \times 2^2 + 1 = 16 + 1 = 17 \) (số nguyên tố) và \( 6 \times 2^2 + 1 = 24 + 1 = 25 \) (không phải số nguyên tố)
- \( p = 3: 4 \times 3^2 + 1 = 36 + 1 = 37 \) (số nguyên tố) và \( 6 \times 3^2 + 1 = 54 + 1 = 55 \) (không phải số nguyên tố)
- \( p = 5: 4 \times 5^2 + 1 = 100 + 1 = 101 \) (số nguyên tố) và \( 6 \times 5^2 + 1 = 150 + 1 = 151 \) (số nguyên tố)
- Tiếp tục kiểm tra cho các số nguyên tố khác.

Kết luận: \( p = 5 \) là số nguyên tố khiến cả \( 4p^2 + 1 \) và \( 6p^2 + 1 \) đều là số nguyên tố.

### Tổng kết
- Với \( a) \): \( p = 3 \)
- Với \( b) \): \( p = 5 \) là số nguyên tố thỏa mãn.